kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ARC #139 : E - Wazir

ARC

本番もっと時間があれば解けたのかなぁ。
https://atcoder.jp/contests/arc139/tasks/arc139_e

問題

H*Wのグリッドを考える。
このグリッドはトーラス状になっており、左端列と右端列のセルは隣接しているし、最上段と最下段のセルは隣接しているとみなす。

このうちいくつかのマスに1つずつコマを置きたい。
ただし、コマの置かれたマスが隣接することはできない。
コマを最大個数置く場合、その置き方は何通りか。

解法

  • HもWも偶数の場合、市松模様状に置く一択で、置き方は2通り。
  • 片方が偶数の場合、Hを偶数とすると、各段に(W-1)/2個ずつコマを置いてH*((W-1)/2)個
  • 両方が奇数の場合、H≧Wとすると、各段に(W-1)/2個ずつコマを置いてH*((W-1)/2)個

後ろ2つの置き方を考える。
2つの行の関係を考えると、以下のように、横2連続でコマを置かないマスが1段ごとに左右いずれかにずれることになる。

o.o.o..o.o.
.o.o..o.o.o

1段目を固定したとき、2,3,4...H段目がどうなるかを考えるよう。

  • H＜Wの時
    • 各段ごとに左右にずれた回数の差が、高々1回でなければならない。
    • 右にずれる総回数を決めれば、二項係数でそのようなずれ方の組み合わせは容易に計算できる。
  • H≧Wの時
    • グリッドはトーラス状なので、W回左または右にずれた場合、1マスもずれてないことになる。
    • 以下の多項式を考える。
    • f(x) := xの多項式で、x^nの係数は、n mod W回右にずれた場合の組み合わせを示す
    • f(x) = ((x^(-1)+x)^H) mod (x^W-1)とし、その定数項を求めれば解となる。多項式の累乗はNTTで求めよう。
ll H,W;
const ll mo=998244353;

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

vector<ll> mult(vector<ll>& A,vector<ll>& B) {
	vector<ll> C(W);
	auto D=MultPoly(A,B,1);
	int i;
	FOR(i,D.size()) (C[i%W]+=D[i])%=mo;
	return C;
	
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W;
	if(H%2==0&&W%2==0) {
		cout<<2<<endl;
		return;
	}
	
	if(W%2==0) swap(H,W);
	if(H%2&&W%2&&H<W) swap(H,W);
	
	ll ret=0;
	if(H<W) {
		for(i=0;i<=H-1;i++) if(abs(i-(H-i-1))<=1) ret+=comb(H-1,i);
		ret=ret%mo*(W%mo)%mo;
	}
	else {
		vector<ll> E(W),A(W);
		E[0]=W;
		A[1]=A[W-1]=1;
		
		FOR(i,35) {
			if(H&(1LL<<i)) E=mult(E,A);
			A=mult(A,A);
		}
		ret=E[0];
		
	}
	
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

時間があればギリギリ自分で解けなくもない…かも？