kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #267 (NECプログラミングコンテスト2022) : Ex - Odd Sum

ARC

TLE対策に手間取った。
https://atcoder.jp/contests/abc267/tasks/abc267_h

問題

1～10で構成されるN要素の整数列Aが与えられる。
この整数列の部分列のうち、要素数が奇数かつ総和がMとなるのは何通りか。

解法

A中の取りうる値の種類が少ないので、値毎に何個部分列に含めるかを考えよう。
まず偶奇の条件を無視して、以下の母関数を考える。
f(i,x) := x^nの係数は、A中で値iを(n/i)個選ぶ選び方
f(1,x)*f(2,x)*....*f(10,x)を求め、x^Mの係数を求めればよい。

ただしこの問題では、個数の偶奇が関係するので、以下を考えよう。
g(i,x) := x^nの係数は、A中で値iを(n/i)個選ぶ選び方。ただし(n/i)が奇数の場合係数は0となる。
h(i,x) := x^nの係数は、A中で値iを(n/i)個選ぶ選び方。ただし(n/i)が偶数の場合係数は0となる。
これはf(i,x)同様容易に計算できる。

s(i,x) := x^nの係数は、A中で値i以下を偶数個選び、総和がnとなるような選び方。
t(i,x) := x^nの係数は、A中で値i以下を奇数個選び、総和がnとなるような選び方。
とすると、t(10,x)におけるx^Mの係数を答えればよい。
s,tは以下の通り計算できるので、NTTで係数を計算していこう。
s(i+1,x) = s(i,x)*g(i+1,x)+t(i,x)*h(i+1,x)
t(i+1,x) = t(i,x)*g(i+1,x)+s(i,x)*h(i+1,x)

int N,M,C[11];
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}
ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		C[x]++;
	}
	
	vector<pair<int,int>> V;
	for(i=1;i<=10;i++) V.push_back({i*C[i]+1,i});
	sort(ALL(V));
	vector<ll> A[2];
	A[0]={1};
	A[1]={0};
	FORR2(a,i,V) if(a>1) {
		vector<ll> B[2];
		B[0].resize(a);
		B[1].resize(a);
		FOR(j,C[i]+1) {
			B[j&1][i*j]=comb(C[i],j);
		}
		vector<ll> X[4];
		X[0]=MultPoly(A[0],B[0],1);
		X[1]=MultPoly(A[1],B[1],1);
		X[2]=MultPoly(A[1],B[0],1);
		X[3]=MultPoly(A[0],B[1],1);
		int ma=max({X[0].size(),X[1].size(),X[2].size(),X[3].size()});
		A[0].resize(ma);
		A[1].resize(ma);
		FOR(j,ma+1) {
			A[0][j]=A[1][j]=0;
			if(j<X[0].size()) A[0][j]+=X[0][j];
			if(j<X[1].size()) A[0][j]+=X[1][j];
			if(j<X[2].size()) A[1][j]+=X[2][j];
			if(j<X[3].size()) A[1][j]+=X[3][j];
			A[0][j]%=mo;
			A[1][j]%=mo;
		}
	}
	if(M<A[1].size()) {
		cout<<A[1][M]<<endl;
	}
	else {
		cout<<0<<endl;
	}
	
	
}

まとめ

解法はすぐ見えたんだけどな。