kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.1983 [Cherry 4th Tune C] 南の島のマーメイド

実装は面倒だけど、方針はたちやすい。
https://yukicoder.me/problems/no/1983

問題

無向グラフが与えられる。
このグラフについて、以下のクエリに答えよ。

  • 2点X,Yが与えられる。同じ点を複数回通らないXからYへのパスは、一意に定まるか。

解法

パスが一意に定まるかを求められているので、まずグラフを二重辺連結成分分解し、縮約しよう。
縮約後のグラフは木となるので、この木上のパスは一意になる。
あとはパス上に2頂点以上の連結成分を縮約した点があるかどうか判定すればよいので、各頂点に対し根からその点までにおける2頂点以上の連結成分を縮約した点の個数を求めよう。
あとはこの木上でLCAを用いれば、パス上で「2頂点以上の連結成分を縮約した点」が1個以上あるか判定できる。

int N,M,Q;
vector<pair<int,int>> Es;
vector<int> E[402020];

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { assert(NV); E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};
SCC_BI scc;

int P[21][400005],D[400005],NG[400005],S[400005];
int vis[402020];
void dfs(int cur) {
	vis[cur]=1;
	S[cur]+=NG[cur];
	FORR(e,E[cur]) if(e!=P[0][cur]) D[e]=D[cur]+1, S[e]=S[cur], P[0][e]=cur, dfs(e);
}
int lca(int a,int b) {
	int ret=0,i,aa=a,bb=b;
	if(D[aa]>D[bb]) swap(aa,bb);
	for(i=19;i>=0;i--) if(D[bb]-D[aa]>=1<<i) bb=P[i][bb];
	for(i=19;i>=0;i--) if(P[i][aa]!=P[i][bb]) aa=P[i][aa], bb=P[i][bb];
	return (aa==bb)?aa:P[0][aa];               // vertex
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>Q;
	scc.init(N+1);
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		Es.push_back({x,y});
		scc.add_edge(x,y);
	}
	scc.scc();
	FORR2(a,b,Es) {
		if(scc.M[a]!=scc.M[b]) {
			E[a].push_back(b);
			E[b].push_back(a);
		}
	}
	int nex=N+1;
	FORR(sc,scc.SC) if(sc.size()>1) {
		FORR(v,sc) {
			E[nex].push_back(v);
			E[v].push_back(nex);
		}
		NG[nex]=1;
		nex++;
	}
	NG[0]=1;
	S[0]=1;
	FOR(i,N) if(vis[i+1]==0) {
		S[i+1]=1;
		dfs(i+1);
		E[0].push_back(i+1);
		E[i+1].push_back(0);
	}
	FOR(i,19) FOR(x,nex) P[i+1][x]=P[i][P[i][x]];
	
	
	while(Q--) {
		cin>>x>>y;
		int lc=lca(x,y);
		int sum=S[x]-S[lc]+S[y]-S[lc]+(NG[lc]);
		if(sum) {
			cout<<"No"<<endl;
		}
		else {
			cout<<"Yes"<<endl;
		}
	}
	
}

まとめ

最近久々に二重辺連結成分分解したかも。