AtCoder ABC #274 (キーエンスプログラミングコンテスト2022) : G - Security Camera 3

Gまではそこそこの速度だったのだけども。
https://atcoder.jp/contests/abc274/tasks/abc274_g

問題

グリッドが与えられる。
一部のセルは障害物になっている。
各セルには、上下左右のいずれかの向きを向いたカメラを設置できる(1セルに複数カメラを設置してもよい)。
カメラを置くと、その向きにあるセルのうち間に障害物がないセルが監視対象となる。

障害物ではない全セルが、少なくとも1個以上のカメラで監視されるようにしたい。
最小何個のカメラで条件を満たせるか。

解法

まずカメラを置くセル・向きを少し絞ろう。

• 右向きと下向きだけあれば、左向きと上向きはいらない。例えば左向きにカメラを置く場合、その先にある障害物に最も近いセルに右向きのカメラを置けば、同等以上の範囲を監視できる。
• 右向きのカメラを置くとすると、左隣が空きセルでない場合に限る。同様に、下向きのカメラを置くとすると、上隣が空きセルでない場合。

あとは、以下の頂点を含むフローの最小カットを考える。

• source
• 右向きのカメラを置き得るマスに相当する頂点
• 下向きのカメラを置き得るマスに相当する頂点 (右向きと下向き両方のカメラを置けるとしても、頂点は別々に作る。
• sink

フローは以下のように張る。

• sourceから、右向きのカメラを置き得るマスに相当する頂点に容量1の辺を張る。
• 下向きのカメラを置き得るマスに相当する頂点からsinkに容量1の辺を張る。
• 障害物のない全マスについて、そこを監視する右向きのカメラを置き得るマスに相当する頂点から下向きのカメラを置き得るマスに相当する頂点に容量1の辺を張る

このグラフの最小カット＝最大フローを求めればよい。

int H,W;
string S[333];

template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 300*300*2+500;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV],mincut[MV]; //1ならsource側
	void add_edge(int x,int y,V cap,bool undir=false) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,undir?cap:0});
	}
	void bfs(int cur) {
		MINUS(lev);
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			FORR(e,E[v]) if(e.cap>0 && lev[e.to]<0) lev[e.to]=lev[v]+1, q.push(e.to);
		}
	}
	V dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		for(;itr[from]<E[from].size();itr[from]++) {
			edge* e=&E[from][itr[from]];
			if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
				V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
				if(f>0) {
					e->cap-=f;
					E[e->to][e->reve].cap += f;
					return f;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	V maxflow(int from, int to) {
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) break;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
		//最小カット復元
		ZERO(mincut);
		queue<int> Q;
		mincut[from]=1;
		Q.push(from);
		while(Q.size()) {
			int cur=Q.front();
			Q.pop();
			FORR(e,E[cur]) if(e.cap>0&&mincut[e.to]==0) mincut[e.to]=1, Q.push(e.to);
		}
		return fl;
	}
};

MaxFlow_dinic<int> mf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W;
	int sum=0;
	FOR(y,H) {
		cin>>S[y];
		FOR(x,W) if(S[y][x]=='.') {
			int x2=x;
			while(x2&&S[y][x2-1]=='.') x2--;
			int y2=y;
			while(y2&&S[y2-1][x]=='.') y2--;
			mf.add_edge(y*300+x2,300*300+y2*300+x,1<<20);
			if(x2==x) {
				mf.add_edge(300*300*2,y*300+x,1);
			}
			if(y2==y) {
				mf.add_edge(300*300+y*300+x,300*300*2+1,1);
			}
			
		}
	}
	cout<<mf.maxflow(300*300*2,300*300*2+1)<<endl;
	
	
}

まとめ

ProjectSelectionProblemも頭に浮かんでしまいフロー構築に手間取った。