ABC最難?
https://atcoder.jp/contests/abc272/tasks/abc272_h
問題
0~(N-1)番のN枚のコインがあり、初期状態でいずれも表を向いている。
整数列Aが与えられる。
Aを等確率でN!通りのいずれかにシャッフルしたとき、以下の手順を行ったときのコインが表となる枚数の期待値を答えよ。
- i回目の手順では、(i-1)番目から順に(i-1+k)%N (kは0以上A[i]未満)番目のコインを表裏反転させる。
解法
対称性より各コインが最終的に表・裏になる確率はいずれも等しい。
よって(N-1)番目のコインがどうなるかだけを考え、N倍すればよい。
詳細な回答はEditorialにあるので、ここでは実装手順だけ書いていく。
F(x)は、コインがx回裏が得られる確率を意味する。以後、Editorialと同じ変数名を用いる。
- まず入力をソートし、分割統治法+NNTで多項式h(x)を求める。
- 次に、多項式h(x)に対しx=0~Nを代入したときの解の数列g(N)を、多点評価で求める。
- g(N)を指数型のFPS表現したうえでe^-xを掛け、f(x)を求める。
- f(x)に対し係数を掛けてNNTすることで、G(x)を求め、そこからF(x)を求める。
int N; int A[202020]; const int mo=998244353; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>; template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(int m=n; m>=2; m/=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=v[j2]; v[j1]=t1+t2; v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; if(s<=16) { //fastpath vec<T> R(s*2); for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } vec<T> P2(s*2),Q2(s*2); FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i]; FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i]; swap(P,P2),swap(Q,Q2); } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } template<class T> vec<T> inverse(vec<T> a) { assert(a[0]>0); vec<T> b={(T)modpow(a[0])}; while(b.size()<a.size()) { vec<T> c(a.begin(),a.begin()+min(a.size(),2*b.size())); vec<T> d=MultPoly(b,b,true); if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size()); c = MultPoly(c,d,true); b.resize(2*b.size()); int i; for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo; } b.resize(a.size()); return b; } template<class T> vec<T> SubPoly(vec<T> P,vec<T> Q) { if(P.size()<Q.size()) P.resize(Q.size()); for(int i=0;i<Q.size();i++) (P[i]+=mo-Q[i])%=mo; return P; } template<class T> pair<vec<T>,vec<T>> divmod(vec<T> a,vec<T> b) { //多項式除算。FPSには使えない。 //最高次数で反転する int A=-1,B=-1,i; FOR(i,a.size()) if(a[i]) A=i; FOR(i,b.size()) if(b[i]) B=i; assert(B>=0); if(A<B) return make_pair(vector<ll>({0LL}),a); a.resize(A+1); b.resize(B+1); reverse(ALL(a)); reverse(ALL(b)); b.resize(A+1); auto rb=inverse(b); // 1/b rb.resize(A-B+1); auto c=MultPoly(a,rb,1); // c=a/b c.resize(A-B+1); reverse(ALL(c)); b.resize(B+1); reverse(ALL(b)); auto bc=MultPoly(c,b,1); //bc=a/b*b bc.resize(A+1); reverse(ALL(a)); auto r=SubPoly(a,bc); // r=a-bc r.resize(B); return make_pair(c,r); } vec<ll> multipoint_evaluation(vec<ll> f,vec<ll> m) { sort(ALL(m)); int ON=m.size(); //2の累乗にする while(m.size()&(m.size()-1)) m.push_back(m.back()+1); int i,N=m.size(); vec<vec<ll>> Xs(2*N),Rs(2*N); FOR(i,N) { if(i<ON) Xs[N+i]={(mo-m[i])%mo,1}; else Xs[N+i]={1}; } for(i=N-1;i>=1;i--) Xs[i]=MultPoly(Xs[i*2],Xs[i*2+1],1); Rs[1]=divmod(f,Xs[1]).second; for(i=2;i<2*N;i++) { Rs[i]=divmod(Rs[i/2],Xs[i]).second; Rs[i].resize(Xs[i].size()-1); } vec<ll> ret; FOR(i,N) ret.push_back(Rs[N+i].empty()?0:Rs[N+i][0]); return ret; } const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; vector<ll> C; cin>>N; FOR(i,N) { cin>>x; C.push_back(x); } sort(ALL(C)); queue<vec<ll>> Q; FOR(i,N) Q.push({(C[i]+1-i+mo)%mo,1}); while(Q.size()>1) { auto a=Q.front(); Q.pop(); Q.push(MultPoly(a,Q.front(),1)); Q.pop(); } vec<ll> p; FOR(i,N+1) p.push_back(i); vec<ll> H=multipoint_evaluation(Q.front(),p); H.resize(N+1); //指数型にする vec<ll> E,EI; FOR(i,H.size()) { H[i]=H[i]*factr[i]%mo; E.push_back(factr[i]); if(i%2==0) { EI.push_back(factr[i]); } else { EI.push_back(mo-factr[i]); } } // f=H*e^-x auto f=MultPoly(H,inverse(E),1); f.resize(N+1); // G=f*e vector<ll> G(N+1),a(N+1),c(N+1); FOR(i,N+1) a[i]=f[i]*fact[i]%mo*fact[N-i]%mo; auto b=MultPoly(a,EI,1); b.resize(N+1); ll ret=0; for(i=0;i<=N;i+=2) (ret+=b[N-i]*factr[i])%=mo; cout<<ret*N%mo*factr[N]%mo<<endl; }
まとめ
こんなの本番中に解ける気しない…。