知らない話がどんどん出てくるな…。
https://atcoder.jp/contests/abc278/tasks/abc278_h
問題
非負整数列Sが良い数列であるとは、Sの部分集合Tの中に、xorを取ると1になるようなものが含まれることを意味する。
正整数N,Bに対し、以下の問いに答えよ。
空の数列Aに対し、0以上(2^B)未満の値を重複なく1つずつ追加していくことを考える。
N個目の値を追加したとき、はじめてAが良い数列となるような追加順は何通りか。
解法
F(n) := n個の異なる値を追加したとき、良い数列でないような追加順の組み合わせ
とすると、
n個の値を追加したとき、良い数列である追加順はP(2^B,n)-F(n)である。
N個の値を追加したときに良い数列であるケースから、(N-1)個目の値を追加したときですでに良い数列であるケースを引けば解なので、解は(P(2^B,N)-F(N))-(P(2^B,N-1)-F(N-1))*(2^B-N+1))となる。
あとはF(n)を求めることを考えよう。
G(n) := 重複を許して、n個の異なる値を追加したとき、良い数列でないような追加順の組み合わせ
とすると包除原理の要領で、
となる。
第1種スターリング数s(n,i)を各iに対し一気に求めるのは、下記問題で既出である。
AtCoder ABC #247 : Ex - Rearranging Problem - kmjp's blog
あとはG(i)を求められれば良い。
これはEditorialに従い、q-階乗を用いて、以下を計算しよう。右の総和の部分はNTTで計算できる。
ll N,B; const ll mo=998244353; const int NUM_=12000003; ll fact2[NUM_+1]; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>; template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(int m=n; m>=2; m/=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=v[j2]; v[j1]=t1+t2; v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; if(s<=16) { //fastpath vec<T> R(s*2); for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } vec<T> P2(s*2),Q2(s*2); FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i]; FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i]; swap(P,P2),swap(Q,Q2); } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } vector<ll> stirling1(int N) { queue<vec<ll>> Q; int i; FOR(i,N) Q.push({i,1}); while(Q.size()>1) { auto a=Q.front(); Q.pop(); Q.push(MultPoly(a,Q.front(),1)); Q.pop(); } vec<ll> V=Q.front(); V.resize(N+1); return V; } ll getN(int N) { int i; if(N==0) return 1; vector<ll> S,R; FOR(i,N+1) { R.push_back(modpow(fact2[i])); if(B-1-i<0) { S.push_back(0); } else { S.push_back(modpow(2,1LL*i*(i+1)/2)*modpow(fact2[i]*fact2[B-1-i]%mo)%mo); } } vector<ll> G=MultPoly(S,R,1); vector<ll> S1=stirling1(N); G.resize(N+1); ll ret=0; FOR(i,N+1) { ll s=S1[i]; ll g=G[i]*fact2[B-1]%mo*fact2[i]%mo; if((N-i)%2) { (ret-=s*g)%=mo; } else { (ret+=s*g)%=mo; } } return ret%mo; } ll perm(ll P_,ll Q_) { if(P_<0 || Q_<0 || Q_>P_) return 0; ll p=1,q=1; for(int i=1;i<=Q_;i++) p=p*P_%mo,P_--; return p; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; fact2[0]=1; ll p2=1; ll q=modpow(mo-1); for(i=1;i<=NUM_;i++) { p2=p2*2%mo; ll v=(1-p2+mo)*q%mo; fact2[i]=fact2[i-1]*v%mo; } cin>>N>>B; ll FN=perm(modpow(2,B),N)-getN(N); ll FN1=perm(modpow(2,B),N-1)-getN(N-1); ll ret=FN-FN1*(modpow(2,B)-N+1); cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl; }
まとめ
q-類似って初めて聞いた…。