yukicoder : No.2083 OR Subset

冪集合とかが絡むと問題文理解するのに手間取る。
https://yukicoder.me/problems/no/2083

問題

正整数Nが与えられる。
1～(2^N-1)の部分集合Xに対し、f(X)は全要素のxorとする。
1～(2^N-1)の部分集合Sのうち、Sの部分集合U,Vに対しU!=Vである場合f(U)!=f(V)となるSは何通りか。

解法

S

=nとする。

S中であるbitが立っている要素が1個だけあるようなbitが計m個あったとする。
そのm個が、n要素に最低1個ずつ散らばっていれば、f(U)!=f(V)を満たせる。

下記の積を、n,m全通りに対し合計を取ればよい。

• m個の選び方はBinom(N,m)通り
• m個のbitをn要素に分ける組み合わせは第2種スターリング数でs(m,n)通り
• 残り(N-m)個のbitは、S中0要素または2要素以上にあればよいので(2^n-1)^(N-m)通り

const ll mo=998244353;
ll dp[5050][5050];
int N;

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;

	cin>>N;
	dp[0][0]=1;
	ll ret=1;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		FOR(j,i) {
			// add
			(dp[i][j+1]+=dp[i-1][j])%=mo;
			(dp[i][j]+=j*dp[i-1][j])%=mo;
		}
		
		for(j=1;j<=i;j++) {
			ret+=dp[i][j]*comb(N,i)%mo*modpow(modpow(2,j)-j,N-i)%mo;
			
		}
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

2要素以上bitが立っていてもいいの、見落としそう…。