kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.2084 Mex Subset For All Sequences

コードは短い。
https://yukicoder.me/problems/no/2084

問題

長さNの整数列Aに対し、f(A)とは、Aの空でない部分列(2^N-1)通りにおけるmex値の総和とする。

整数N,Mが与えられる。各要素0以上M未満であるN要素の整数列A全通りに対し、f(A)の総和を求めよ。

解法

mexがd以上となるSの部分列の個数をF(d)とすると、d*(F(d)-F(d-1))の総和を取ればよい。
0~d-1のうちj個がSの部分列に含まれない選び方はComb(d+1,j)通りである。
Sの各要素は、部分列に入れないケースM通りと、部分列に入れるがj個に該当しないケースM-j通りあるので、包除原理も考えると解は \displaystyle \sum_{d=0}^M \sum_{j=0}^{d+1} C(d+1,j)(-1)^j(2M-j)^Nとなる。

Editorialでは畳み込みを使うと書いてあるが、dを動かしたときのC(d+1,j)の総和はC(M+1,j+1)になることを使うと畳み込みを回避できる。

const ll mo=998244353;
int N,M;

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll hcomb(ll P_,ll Q_) { return (P_==0&&Q_==0)?1:comb(P_+Q_-1,Q_);}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	ll ret=0;
	for(int d=0;d<=M;d++) {
		ll a=modpow(2*M-d,N);
		if(d%2==0) {
			ret+=a*comb(M+1,M-d)%mo;
		}
		else {
			ret-=a*comb(M+1,M-d)%mo;
		}
		if(d==0) ret-=a;
		
	}
	cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl;
}

まとめ

似たようなシチュエーションでもいろいろな問題思いつくもんだな。