コードは短い。
https://yukicoder.me/problems/no/2084
問題
長さNの整数列Aに対し、f(A)とは、Aの空でない部分列(2^N-1)通りにおけるmex値の総和とする。
整数N,Mが与えられる。各要素0以上M未満であるN要素の整数列A全通りに対し、f(A)の総和を求めよ。
解法
mexがd以上となるSの部分列の個数をF(d)とすると、d*(F(d)-F(d-1))の総和を取ればよい。
0~d-1のうちj個がSの部分列に含まれない選び方はComb(d+1,j)通りである。
Sの各要素は、部分列に入れないケースM通りと、部分列に入れるがj個に該当しないケースM-j通りあるので、包除原理も考えると解はとなる。
Editorialでは畳み込みを使うと書いてあるが、dを動かしたときのC(d+1,j)の総和はC(M+1,j+1)になることを使うと畳み込みを回避できる。
const ll mo=998244353; int N,M; ll comb(ll N_, ll C_) { const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } ll hcomb(ll P_,ll Q_) { return (P_==0&&Q_==0)?1:comb(P_+Q_-1,Q_);} ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1;a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M; ll ret=0; for(int d=0;d<=M;d++) { ll a=modpow(2*M-d,N); if(d%2==0) { ret+=a*comb(M+1,M-d)%mo; } else { ret-=a*comb(M+1,M-d)%mo; } if(d==0) ret-=a; } cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl; }
まとめ
似たようなシチュエーションでもいろいろな問題思いつくもんだな。