yukicoder : No.2120 場合の数の下８桁

確かに教育的問題かも。
https://yukicoder.me/problems/no/2120

問題

正整数M,Nが与えられる。
Binom(M,N)の下8桁を求めよ。

解法

Binom(M,N) % (2^8*5^8)を求めたい。
(M-N+1)～Mの積を取り、N!で割ることを考える。
それぞれ、素因数分解したときに

• 2の何乗か
• 5の何乗か
• それ以外の素因数の積

を個別に考えよう。
最後の部分は、N!で割る際に実際はN!のうち2と5以外の素因数の積について、φ(10^8)-1=3999999乗した値を掛ければよい。

int M,N;
const ll mo=100000000;
ll modpow(ll a, ll n) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>M>>N;
	if(N>M) {
		cout<<"00000000"<<endl;
		return;
	}
	
	int p2=0,p5=0;
	ll p=1,q=1;
	FOR(i,N) {
		x=M-i;
		while(x%2==0) p2++, x/=2;
		while(x%5==0) p5++, x/=5;
		p=p*x%mo;
		x=i+1;
		while(x%2==0) p2--, x/=2;
		while(x%5==0) p5--, x/=5;
		q=q*x%mo;
	}
	
	q=modpow(q,mo/10*4-1);
	p=p*q%mo;
	
	FOR(i,p2) p=p*2%mo;
	FOR(i,p5) p=p*5%mo;
	_P("%08lld\n",p);
}

まとめ

★2.5～3でもいい気はする。