kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.2137 Stairs of Permutation

これ系の数え上げはだいぶ慣れてきたね。
https://yukicoder.me/problems/no/2137

問題

1~Nの順列Pを考える。
f(P)は、Pのprefixのうち末尾が最大値となるものの数とする。
PはN!通りあるが、f(P)^3の総和を求めよ。

解法

g(i) := P[i]がP[1...i]のうち最大の時1、そうでないとき0
h(i) := g(i)=1となる確率
とすると、これはh(i) = 1/iである。

f(P)に1が計上されるのは、1≦a,b,c≦Nとなる3値を選んだ時、g(a)=g(b)=g(c)=1の場合である。
ただし、以下の場合

  • a=b=cの場合は1通り。
  • 2値が一致する場合、a<b=c、a>b=c…と列挙すると計6通り
  • 3値が互いに異なる場合、6通り

それぞれh(i)の1乗・2乗・3乗のprefix sumを求めておいて数え上げよう。

int N;
const ll mo=998244353;

const int NUM_=11400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N;
	ll ret=0;
	ll a=0;
	ll b=0;
	ll c=0;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		(c+=inv[i]*b)%=mo;
		(b+=inv[i]*a)%=mo;
		(a+=inv[i])%=mo;
	}
	// take 1
	ret+=fact[N]*(a%mo)%mo;
	// take 2
	ret+=6*fact[N]*(b%mo)%mo;
	// take 3
	ret+=6*fact[N]*(c%mo)%mo;
	
	cout<<ret%mo<<endl;
	
	
}

まとめ

コードも割と短くなったね。