これ系の数え上げはだいぶ慣れてきたね。
https://yukicoder.me/problems/no/2137
問題
1~Nの順列Pを考える。
f(P)は、Pのprefixのうち末尾が最大値となるものの数とする。
PはN!通りあるが、f(P)^3の総和を求めよ。
解法
g(i) := P[i]がP[1...i]のうち最大の時1、そうでないとき0
h(i) := g(i)=1となる確率
とすると、これはh(i) = 1/iである。
f(P)に1が計上されるのは、1≦a,b,c≦Nとなる3値を選んだ時、g(a)=g(b)=g(c)=1の場合である。
ただし、以下の場合
- a=b=cの場合は1通り。
- 2値が一致する場合、a<b=c、a>b=c…と列挙すると計6通り
- 3値が互いに異なる場合、6通り
それぞれh(i)の1乗・2乗・3乗のprefix sumを求めておいて数え上げよう。
int N; const ll mo=998244353; const int NUM_=11400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; cin>>N; ll ret=0; ll a=0; ll b=0; ll c=0; for(i=1;i<=N;i++) { (c+=inv[i]*b)%=mo; (b+=inv[i]*a)%=mo; (a+=inv[i])%=mo; } // take 1 ret+=fact[N]*(a%mo)%mo; // take 2 ret+=6*fact[N]*(b%mo)%mo; // take 3 ret+=6*fact[N]*(c%mo)%mo; cout<<ret%mo<<endl; }
まとめ
コードも割と短くなったね。