yukicoder : No.2245 Second Smallest

これ系解ける気しないなぁ。
https://yukicoder.me/problems/no/2245

問題

H*Wのグリッドがある。
各マスには、[0,1]の範囲の実数が一様ランダムに書かれている。

左上マスから右下マスまで隣接マスをたどって移動するとき、通ったマスに書かれた実数のうち2番目に小さな値をxとする。
マスに書かれた値が確定後、xが最大となる経路を選ぶ場合、x^Kの期待値を求めよ。

解法

P(y) := xがy以下である確率
とすると、求める期待値はとなる。

P(y)を求める。y以下の値のセルは、どんな経路でも最大1個までしか通らない場合、条件を満たす。
y以下の値のセルがn個あるとき、このn個は異なる行・列で、左下から右上に向け配置されていればよい。
よってとなる。

この上で元の積分を求めるわけだが、この形の積分はベータ関数の積分公式で求められる。

int H,W,K;
const ll mo=998244353;
const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1],fact2[505050];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	
	cin>>H>>W>>K;

	inv[1]=fact[0]=factr[0]=fact2[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	for(i=1;i<=505000;i++) fact2[i]=fact2[i-1]*(H*W+K+1-i)%mo;

	ll ret=0;
	FOR(i,min(H,W)+1) {
		ll a=K*comb(H,i)%mo*comb(W,i)%mo;
		
		ll x=K+i-1;
		ll y=H*W-i;
		ll z=H*W+K;
		
		a=a*fact[x]%mo;
		ll m=fact2[z-y];
		ret+=a*modpow(m)%mo;
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

そんな公式知らなかった…。