AtCoder ABC #297 : Ex - Diff Adjacent

母関数周りはまだまだ練習が必要そうだ…。
https://atcoder.jp/contests/abc297/tasks/abc297_h

問題

正整数Nが与えられる。
総和がNとなる任意長の正整数列のうち、隣接要素の値が互いに異なるものの長さの総和を求めよ。

解法

EditorialのうちDP解の方がわかりやすい。
dp0(i) := 総和がiで条件を満たす数列の個数
dp1(i) := 総和がiで条件を満たす数列の長さの総和

包除原理の要領で、条件に違反する隣接要素対の偶奇に応じ、加減算しよう。
f(i) := 同じ整数をL個並べて総和がiとなる整数列のうち、(-1)^(L-1)を取った総和
g(i) := 同じ整数をL個並べて総和がiとなる整数列のうち、L*(-1)^(L-1)を取った総和

dp0(i-j)の状態の数列の末尾にjを追加するとdp0(i)になる、と考えると、以下のように遷移する。

dp0(i)、dp1(i)はそれより小さな添え字の値だけに依存するので、分割統治+FFTで解ける。

int N;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

vector<ll> F,G;
ll dp0[202020],dp1[202020];

void dfs(int L,int R) {
	if(L+1>=R) return;
	int M=(L+R)/2;
	dfs(L,M);
	
	vector<ll> D0,D1,D2,F2,G2;
	int i;
	for(i=L;i<M;i++) {
		D0.push_back(dp0[i]);
		D1.push_back(dp1[i]);
	}
	for(i=L;i<R;i++) {
		F2.push_back(F[i-L]);
		G2.push_back(G[i-L]);
	}
	D2=MultPoly(D0,F2,1);
	D0=MultPoly(D0,G2,1);
	D1=MultPoly(D1,F2,1);
	
	for(i=M;i<R;i++) {
		(dp0[i]+=D2[i-L])%=mo;
		(dp1[i]+=D0[i-L]+D1[i-L])%=mo;
	}
	
	dfs(M,R);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	
	F.resize(N+1);
	G.resize(N+1);
	
	for(i=1;i<=N;i++) {
		for(j=i;j<=N;j+=i) {
			if(j/i%2==0) {
				(F[j]+=mo-1)%=mo;
				(G[j]+=j/i*(mo-1))%=mo;
			}
			else {
				(F[j]+=1)%=mo;
				(G[j]+=j/i)%=mo;
			}
		}
	}
	dp0[0]=1;
	/*
	for(i=1;i<=N;i++) {
		for(j=1;j<=i;j++) {
			(dp0[i]+=F[j]*dp0[i-j])%=mo;
			(dp1[i]+=(G[j]*dp0[i-j]+F[j]*dp1[i-j]))%=mo;
		}
	}
	*/
	dfs(0,N+1);
	cout<<dp1[N]<<endl;
	
}

まとめ

DP考えるのも難しいけど、母関数慣れたらそこらへん気にせずスムーズに解けるのかな。