kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ARC #153 : E - Deque Minimization

これ畳み込みになるのか…。
https://atcoder.jp/contests/arc153/tasks/arc153_e

問題

0を含まないN桁の整数Xがあったとする。
空文字Sに対し、Xの先頭の数字から順にSの先頭または末尾に追加することを繰り返す。
最終的にできるSを整数とみなすとできる整数のうち、最小値をf(X)とする。

Yが与えられたとき、f(X)=YとなるXは何通りか。

解法

dp(L,R)を、YのL文字目~(R-1)文字目を構築できるXの先頭(R-L)文字の組み合わせとする。
(R-L)+1文字目を先頭と末尾どっちに加えるかを考えると、O(N^2)のDPは容易に組める。

最小値を取るという条件から、遷移できないケースがある。
dp(L,*)をKの大きい順に求めて行く。この際遷移できないケースを除くと9回畳み込みを行えばよい。

int N;
string Y;
const ll mo=998244353;

const int NUM_=2000003;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}



void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>Y;
	N=Y.size();
	
	vector<vector<int>> V;
	FOR(i,N) {
		if(V.size()&&V.back()[0]>Y[i]-'0') break;
		if(V.empty()||V.back()[0]!=Y[i]-'0') V.push_back({Y[i]-'0',i,0});
		V.back()[2]++;
	}
	reverse(ALL(V));
	
	vector<ll> C(N+1);
	
	FORR(v,V) {
		int L=v[1];
		int preL=v[1]+v[2];
		int R=preL;
		while(R<N&&Y[R]>Y[L]) R++;
		C[preL-1]=1;
		vector<ll> F;
		FOR(i,N+1) {
			F.push_back(fact[v[2]-1+i]*factr[v[2]-1]%mo*factr[i]%mo);
		}
		C=MultPoly(C,F,1);
		C.resize(N+1);
		for(i=L;i<preL-1;i++) C[i]++;
		for(i=R;i<=N;i++) C[i]=0;
	}
	cout<<C[N-1]<<endl;
	
}

まとめ

800ptにしては難しい気がする。