yukicoder : No.2832 Nana's Fickle Adventure

これも割と素直な問題。
https://yukicoder.me/problems/no/2832

問題

N点M辺のグラフが与えられる。
このグラフは自己辺や多重辺も持つ。

今プレイヤーは点1にいる。
毎日、プレイヤーは辺のいずれかに沿って等確率で移動する。
ただし、直前に利用した辺は用いない。

X日後にプレイヤーが各点にいる確率を答えよ。

解法

Mは大きいがNが小さい。
そこで直前に使用した辺ではなく直前にいた点を覚えることを考える。
f(x,a,b) := X日後に点aにいて、直前bにいる確率
bとして、「前回移動しなかった」という状態も入れられるようにしておく。

これにを行列累乗で求めて行けばO(N^6 logX)で解ける。

const int MAT=121;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};
const ll mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

int N,M,X;
int C[10][10];
int S[10];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>X;
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		x--,y--;
		C[x][y]++;
		C[y][x]++;
		S[x]++;
		S[y]++;
		if(x==y) C[x][x]--,S[x]--;
	}
	
	Mat A;
	FOR(i,11) FOR(j,N) {
		
		if(S[j]==0) {
			A.v[j*10+10][j*10+10]=1;
		}
		else if(S[j]==1) {
			FOR(k,N) if(C[j][k]) {
				A.v[k*11+j][j*11+10]=1;
				A.v[j*11+10][j*11+k]=1;
			}
		}
		else {
			FOR(k,N) if(C[j][k]) {
				if(i==10) A.v[k*11+j][j*11+i]=C[j][k]*modpow(S[j])%mo;
				else A.v[k*11+j][j*11+i]=(C[j][k]-(i==k))*modpow(S[j]-1)%mo;
			}
		}
	}
	A=powmat(X,A);
	FOR(i,N) {
		ll ret=0;
		FOR(j,11) ret+=A.v[i*11+j][10];
		cout<<ret%mo<<endl;
	}
	
		
	
}

まとめ

問題設定から割と素直に考察できそうな問題。