yukicoder : No.2877 Gunegune Hyperion

重いと思ったけど普通に間に合った。
https://yukicoder.me/problems/no/2877

問題

植物の先端が原点にある。
翌日、その先端は等確率で左(X座標が-1)・左上(X座標が-1,Y座標が+1)・上(Y座標が+1)・右上(X座標が+1,Y座標が+1)・右(X座標が+1)の格子点まで伸びる。
以降毎日その先端は左・左上・上・右上・右の格子点まで伸びるが、前日と角度の変化は45度以下となる中で等確率でどこかに伸びる。

N日後に先端のY座標がH以上になる確率を求めよ。

解法

対称性より、左と右、左上と右上は同一視して考えると、前日の角度は3通りとなる。
dp(n,i,h) := n日経過後、最後に伸びた植物の角度がiで、先端のY座標がhとなる確率
とすると、O(NH)で解を求められるがTLに間に合わない。母関数を使い、
f(n,i)(x) := xの多項式で、x^hの係数が、n日経過後、最後に伸びた植物の角度がiで、hとなる確率を示す
とする。f(n,i)(x)→f(n+1,j)(x)の状態遷移は、各要素を多項式とする3*3の行列で表現できる。

なので行列累乗とFFTを使い、この行列の(N-1)乗を求めれば、f(1,i)(x)からf(N,j)(x)を求められる。

const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=-1,qi=-1,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		if(pi==-1||qi==-1) return {};
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

const int MAT=3;
struct Mat { vector<ll> v[MAT][MAT];};

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z,k; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		auto c=MultPoly(a.v[x][z],b.v[z][y],1);
		if(r.v[x][y].size()<c.size()) r.v[x][y].resize(c.size());
		FOR(k,c.size()) r.v[x][y][k]+=c[k];
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) FORR(a,r.v[x][y]) a%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(i,n) r.v[i][i]={1};
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

int N,H;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>H;
	
	Mat P;
	P.v[0][0]={modpow(2),0};
	P.v[1][0]={0,modpow(2)};
	P.v[0][1]={modpow(3),0};
	P.v[1][1]=P.v[2][1]={0,modpow(3)};
	P.v[1][2]={0,2*modpow(3)%mo};
	P.v[2][2]={0,modpow(3)%mo};
	P=powmat(N-1,P);
	ll ret=0;
	FOR(x,3) {
		FOR(y,3) {
			ll a=(y==2)?modpow(5):(2*modpow(5))%mo;
			FOR(k,P.v[x][y].size()) if(k+(y!=0)>=H) ret+=a*P.v[x][y][k]%mo;
		}
	}
	
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

この解法思いついたもののTL間に合う自信なくてあきらめたやつだった。
普通に間に合うのね…。