なるほど。
https://yukicoder.me/problems/no/2883
問題
整数N,Kが与えられる。
フィボナッチ数列F(n)について、F(1)^K+F(2)^K+....+F(N)^Kを求めよ。
F(n+1)^K = (F(n)+F(n-1))^K より、F(n+1)^KはF(n)^m*F(n-1)^(K-m)の線形和で求められる。
また、F(n+1)^m*F(n)^(K-m)についても、F(n)^l*F(n-1)^(K-l)の線形和で計算できる。
あとは行列累乗に持ち込み、総和の項を合わせて(K+2)次の正方行列のN乗を求めればよい。
const ll mo=998244353; const int MAT=102; struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};}; Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) { ll mo2=4*mo*mo; int x,y,z; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) { r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y]; if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2; } FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo; return r; } Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) { int i,x,y; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(i,n) r.v[i][i]=1; while(p) { if(p%2) r=mulmat(r,a,n); a=mulmat(a,a,n); p>>=1; } return r; } ll comb(ll N_, ll C_) { const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } ll N,K; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>K; Mat A; FOR(y,K+1) FOR(x,K+1) if(x<=K-y) { A.v[y][x]=comb(K-y,K-x-y); if(y==0) A.v[K+1][x]=comb(K-y,K-x-y); } A.v[K+1][K+1]=1; A=powmat(N-1,A,K+2); cout<<A.v[K+1][0]+1<<endl; }
まとめ
F(n+1)^m*F(n)^(K-m)を順次計算していくってのが賢いな。