AtCoder ARC #185 : C - Sum of Three Integers

これはどうにか思いつけて良かった。
https://atcoder.jp/contests/arc185/tasks/arc185_c

問題

N個の正整数列Aが与えられる。
このうち3つの和がXとなるようなものがあるか判定し、あるなら一例を示せ。

解法

まずAに1～Xの各値が何個ずつあるか数えておく。
次に以下のパターンを先に処理しよう。

• 3つとも同じ値であるパターンがあるか。これはX/3が3個以上判定すればよい。
• 2つ同じ値であるパターンがあるか。これは同じ値が1～X/2のパターンをそれぞれチェックすればよい。

上記パターンがいずれもない場合、Aに2個以上同じ値がある意味はないので、1個ずつあると考えておく。
C(i)を、A中にiが1個以上あれば1、そうでなければ0とする。
f(x) := sum(C(i)*x^i) とする多項式を考える。FFTでf(x)^2を求めれば、A中の2つの値の組み合わせを列挙できる。
このf(x)^2において、x^nの項が正である場合、かつA中に(X-n)が存在すれば、条件を満たす3つ組がある。よってnを総当たりすればよい。

計算過程で、同じ要素を二重にカウントしないよう注意しながら上記を求めて行こう。

int N,X;
vector<int> D[1010101];
int num[2<<20];
int A[1010101];

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=-1,qi=-1,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		if(pi==-1||qi==-1) return {};
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void out(int a,int b,int c) {
	assert(A[a]+A[b]+A[c]==X);
	a++;
	b++;
	c++;
	int i;
	FOR(i,10) {
		if(a>b) swap(a,b);
		if(a>c) swap(a,c);
		if(b>c) swap(b,c);
	}
	cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;
	exit(0);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>X;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		D[A[i]].push_back(i);
		num[A[i]]++;
	}
	if(X%3==0&&num[X/3]>=3) {
		x=X/3;
		out(D[x][0],D[x][1],D[x][2]);
	}
	for(i=1;i<=X/2;i++) if(num[i]>=2) {
		x=X-i*2;
		if(x>0&&x!=i&&num[x]) out(D[i][0],D[i][1],D[x][0]);
	}
	
	vector<ll> V;
	FOR(i,1<<20) V.push_back(num[i]>0);
	V=MultPoly(V,V,1);
	V.resize(X+1);
	FOR(i,X+1) if(num[i]) V[i*2]--;
	for(i=X;i>=0;i--) if(num[i]&&V[X-i]) {
		int L=X-i;
		if(i*2<X&&num[X-i*2]&&V[X-i]==1) continue;
		for(j=1;j<L-j;j++) if(j!=i&&L-j!=i&&num[j]&&num[L-j]) out(D[j][0],D[L-j][0],D[i][0]);
	}
	cout<<-1<<endl;
	
}

まとめ

二重カウントでハマらず済んで良かった。