yukicoder : No.2983 Christmas Color Grid (Advent Calender ver.)

このタイプのDFS初めて。
https://yukicoder.me/problems/no/2983

問題

整数H,W,Kが与えられる。
H*Wのグリッドの各マスを等確率で赤または緑に塗っていく。
最終的なグリッドの状態に対し、緑マスの連結成分のサイズのK乗和に関し、1マス色を塗るたびにまだ塗ってないマス数Yに対し(Y+1)で割ったものをスコアに加算するとする。
マスの塗り方全通りに対し、スコアの期待値を求めよ。

解法

途中(Y+1)で割った値を加算する部分は、どの最終的なグリッドの状態に対しても同じ倍率でかかる。
よってこの倍率は最後に掛けることにして、まず最終的なグリッドの状態に対し連結成分のK乗和を考える。

グリッドの状態を総当たりしながら連結成分のサイズを求めると、O(2^(H*W)*H*W)程度かかり間に合わない。
そこで、連結成分を総当たりし、その連結成分が登場するグリッドの状態を数え上げよう。
連結成分となる緑マスと、その隣接マスは赤マス固定だが、それ以外のマスは赤でも緑でも良い。

連結成分総当たりはDFSで、既存の緑マスの連結成分のうち最小の位置のマスを緑マスとして追加することを繰り返して構築できる。

int H,W;
ll K,mo;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


ll p2[30];
ll sc[30];

ll ret;

void dfs(int mask_filled,int mask_cand) {
	int nf=0;
	int y,x,i;
	int d[]={0,1,0,-1};
	FOR(y,H) FOR(x,W) {
		//もう埋まってる
		if(mask_filled&(1<<(y*W+x))) {
			nf++;
			continue;
		}
		int ok=0;
		FOR(i,4) {
			int ty=y+d[i];
			int tx=x+d[i^1];
			if(ty<0||ty>=H||tx<0||tx>=W) continue;
			//隣が埋まっているならok
			if(mask_filled&(1<<(ty*W+tx))) {
				nf++;
				ok=1;
				break;
			}
		}
		//埋めることは不可
		if(mask_cand&(1<<(y*W+x))) continue;
		if(ok) {
			mask_cand |= (1<<(y*W+x));
			dfs(mask_filled | (1<<(y*W+x)), mask_cand);
		}
	}
	
	
	ret+=p2[H*W-nf]*sc[__builtin_popcount(mask_filled)]%mo;
	
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W>>K>>mo;
	
	p2[0]=1;
	FOR(i,25) p2[i+1]=p2[i]*2%mo;
	FOR(i,26) sc[i]=modpow(i,K);
	
	ll weight=0;
	for(i=1;i<=H*W;i++) (weight+=modpow(i))%=mo;
	(weight*=modpow(1<<(H*W)))%=mo;
	
	FOR(i,H*W) dfs(1<<i,(1<<(i+1))-1);
	
	ret=ret%mo*weight%mo;
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

連結成分の総当たりという方針自体は思いついたものの、良い実装が思いつかなかった。