yukicoder : No.3243 Multiplication 8 1

異様に8にこだわっている解。
https://yukicoder.me/problems/no/3243

問題

整数Nが与えられる。
1,2,-1,-2からなるN要素の整数列のうち、数列を適切に分割すると、各部分列の積が8となるようなものは何通りか。

解法

部分列の積が8になったら、そこで分割するとする。
f(n,b) := n要素の数列のうち、末尾の部分列の積がbであるようなもの
とし、f(n,b)を行列累乗で数え上げる。なお、b=8とb=1は同じと見なそう。

1点注意点として、これだと全要素が1または-1で、全部の積が1の場合も解となってしまう。
よってそれらを引いて、f(N,1) - 2^(N-1)が解となる。

int T;
ll N;
const ll mo=998244353;
const int MAT=7;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


// 1 2 4 -1 -2 -4 -8

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	Mat A;
	A.v[0][0]=1; //x1
	A.v[0][2]=1; //x2
	A.v[0][3]=1; //x-1
	A.v[0][6]=1; //x-1
	A.v[0][5]=1; //x-2
	A.v[1][1]=1; //x1
	A.v[1][0]=1; //x2
	A.v[1][4]=1; //x-1
	A.v[1][3]=1; //x-2
	A.v[2][2]=1; //x1
	A.v[2][1]=1; //x2
	A.v[2][5]=1; //x-1
	A.v[2][4]=1; //x-2
	
	A.v[3][0]=1; //x1
	A.v[3][3]=1; //x-1
	A.v[4][1]=1; //x1
	A.v[4][0]=1; //x2
	A.v[4][4]=1; //x-1
	A.v[4][3]=1; //x-2
	A.v[5][2]=1; //x1
	A.v[5][1]=1; //x2
	A.v[5][5]=1; //x-1
	A.v[5][4]=1; //x-2
	
	A.v[6][6]=1;
	A.v[6][2]=1;
	A.v[6][5]=1;
	
	
	
	cin>>T;
	while(T--) {
		cin>>N;
		auto p=powmat(N,A);
		
		// 1と-1だけのケースを除く
		ll ret=p.v[0][0]+mo-modpow(2,N-1);
		cout<<ret%mo<<endl;
	}
}

まとめ

こちらはすんなり。