yukicoder : No.3247 Multiplication 8 2

忘れてた…。
https://yukicoder.me/problems/no/3247

問題

1,-1,2,-2で構成されるN要素の整数列Aと、整数Kが与えられる。
Aを、積が8になるような連続部分列L個に分割するとき、それぞれ長さのK乗和を考える。
あり得る分割全通りにおけるK乗和を求めよ。

解法

A全部の積が8^Lであるとする。そうでない場合、そもそも条件を満たす分割の仕方は存在しない。
P(n) := Aのprefix prodが8^nとなるような長さの集合
とする。ただしP(0)={0}、P(L)={N}とする。

この時、分割の仕方の組み合わせをRとするとR=prod(P)となる。
K乗和を考えると、 が解となる。
問題はsumの部分で、計算量がO(N^2)となる。求めるのはy-xなので、ここは畳み込みを用いればy-x=zとなるようなzの数の組み合わせをO(NlogN)で求められる。

int N,K;

int A[1<<20];
ll pat[1<<20];
const ll mo=998244353;
vector<int> V[1<<20];
ll freq[1<<20];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false,bool recover=false) {
	int len=0;
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=-1,qi=-1,i;
		int s=2;
		len=P.size()+Q.size()-1;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		if(pi==-1||qi==-1) return {};
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			if(recover) R.resize(len);
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	P=fft(P,true);
	if(resize&&recover) P.resize(len);
	return P;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	FOR(i,N) cin>>A[i];
	
	int cur=0,sgn=0;
	map<int,ll> M;
	M[0]=1;
	V[0].push_back(N);
	
	for(i=N-1;i>=0;i--) {
		if(A[i]<0) sgn^=1;
		if(abs(A[i])==2) cur++;
		
		
		if(sgn==0&&cur%3==0&&cur>0) {
			pat[i]=M[cur-3]%mo;
			M[cur]+=pat[i];
			V[cur/3].push_back(i);
		}
	}
	V[cur/3].clear();
	V[cur/3].push_back(0);
	
	ll tpat=pat[0];
	if(tpat==0) {
		cout<<0<<endl;
		return;
	}
	
	ll ret=0;
	FOR(i,N/3+1) if(V[i].size()&&V[i+1].size()) {
		ll lef=tpat*modpow(1LL*V[i].size()*V[i+1].size()%mo)%mo;
		
		sort(ALL(V[i]));
		sort(ALL(V[i+1]));
		
		vector<ll> F(V[i].back()-V[i][0]+1),G(V[i+1].back()-V[i+1][0]+1);
		FORR(v,V[i]) F[v-V[i][0]]++;
		FORR(v,V[i+1]) G[v-V[i+1][0]]++;
		reverse(ALL(G));
		F=MultPoly(F,G,1);
		FOR(j,F.size()) if(F[j]) {
			(ret+=modpow(V[i][0]-V[i+1].back()+j,K)%mo*F[j]%mo*lef)%=mo;
		}
	}
	
	
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

sumのところを畳み込みにするのを思いつかず…。