AtCoder ABC #422 : G - Balls and Boxes

だいぶ変わった時間帯の開催。
https://atcoder.jp/contests/abc422/tasks/abc422_g

問題

正整数N,A,B,Cが与えられる。
N個のボールを3つの箱に分ける。
その際、それぞれの箱にあるボールの数が、A,B,Cの倍数となるようにしたい。

以下の2つの問いに答えよ。

• ボール同士が区別できない場合、条件を満たす各箱のボールの数の組み合わせ
• ボール同士が区別できる場合、条件を満たす各箱のボールの入れ方の組み合わせ

解法

どちらも母関数とFFTを用いて解く。
3つの箱に入れたボールの数をNa,Nb,Ncとしたとき、前者は条件を満たすNa,Nb,Ncの組み合わせの数、後者は条件を満たすNa,Nb,Ncに対しN!/(Na!*Nb!*Nc!)を答えればよい。

• 前者の問題
  • 
  • とし、Fb(x)やFc(x)も同様に定めて、としてF(x)のx^Nの係数を答えればよい。
• 後者の問題
  • 
  • とし、Gb(x)やGc(x)も同様に定めて、としてG(x)のx^Nの係数にN!を掛けたものを答えればよい。

int N,A,B,C;

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false,bool recover=false) {
	int len=0;
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=-1,qi=-1,i;
		int s=2;
		len=P.size()+Q.size()-1;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		if(pi==-1||qi==-1) return {};
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			if(recover) R.resize(len);
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	P=fft(P,true);
	if(resize&&recover) P.resize(len);
	return P;
}

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>A>>B>>C;
	vector<ll> F(N+1),G(N+1),H(N+1);
	
	FOR(j,2) {
		FOR(i,N+1) {
			if(i%A==0) F[i]=(j==0?1:factr[i]);
			if(i%B==0) G[i]=(j==0?1:factr[i]);
			if(i%C==0) H[i]=(j==0?1:factr[i]);
		}
		auto FGH=MultPoly(F,MultPoly(G,H,1),1);
		FGH.resize(N+1);
		
		cout<<FGH[N]*(j==0?1:fact[N])%mo<<endl;
	}
		
	
}

まとめ

これはすんなりだった。