yukicoder : No.1968 Distance

シンプルな問題設定ながら割としんどい。
https://yukicoder.me/problems/no/1968

問題

[0,1]の区間を(N+1)個に区切る。
最初、区間のランダムな場所xで区間を[0,x],[x,1]にに分割する。
その後、最大の区間を二等分にすることをN回繰り返す。
最終的にできる複数の区間のうち、最小の区間の大きさの期待値を求めよ。

解法

f(x)を、xに対する解とする。
f(x)=f(1-x)なので、f(x)を0～0.5まで積分し、2倍すれば解となる。

初手で区間がxとyに分かれたとする。
y/(2^(i+1))＜x＜y/(2^i)とすると、初手以降(2^(i+1)-1)回までの分割は、yの方を分割する。
その後、x側の分割と、y側の分割をiに応じた回数毎に交互に行う。

よって、iを定めるとxとyの分割回数が決まるので、f(x)も決まる。
そこでiを総当たりしながらf(x)をxの式として求め、積分値を計算しよう。

ll N;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	
	ll ret=0;
	FOR(i,55) {
		ll L=1;
		ll R=1LL<<i;

		ll a=modpow(1+(2LL<<i));
		ll b=modpow(1+(1LL<<i));
		if(R>N) {
			// x=0...1/(1+(1LL<<i)) 1/2*x^2
			//cout<<"!!"<<modpow(b)<<endl;
			ret+=b*b%mo*modpow(2)%mo;
			break;
		}
		ll n=N;
		ll di=2;
		
		//cout<<modpow(a)<<" "<<modpow(b)<<endl;
		n-=R-1;
		while(n>0) {
			n-=R;
			R*=2;
			if(n<=0) {
				//cout<<"!"<<R<<endl;
				// int((1-x)/R)=(x-1/2*x^2)/R
				ret+=(b-b*b%mo*modpow(2))%mo*modpow(R)%mo;
				ret+=mo-(a-a*a%mo*modpow(2))%mo*modpow(R)%mo;
				break;
			}
			
			n-=L;
			L*=2;
			if(n<=0) {
				// x
				//cout<<"!!!"<<L<<endl;
				ret+=b*b%mo*modpow(2*L)%mo;
				ret+=mo-a*a%mo*modpow(2*L)%mo;
				break;
			}
			
		}
		
		
	}
	
	cout<<(ret%mo+mo)*2%mo<<endl;
}

まとめ

積分で解くってのはすぐ思いつくけど、そこからiの回数で総当たりする部分が思いつかず。