kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #300 (ユニークビジョンプログラミングコンテスト2023 春) : Ex - Fibonacci: Revisited

ARC

必要な知識はあったはずなのに…。
https://atcoder.jp/contests/abc300/tasks/abc300_h

問題

以下のような数列Aを考える。

  • A[0]～A[K-1]は1
  • A[i]は、直前K項の総和

整数K,Nが与えられる。m and N=mを満たすmに対するA[m]の総和を求めよ。

解法

ユーザ解説側の方が自分にはわかりやすかった。

まず、A[N]を求めることを考える。
これは、x^Nを(x^K-(1+x+x^2+...+x^(K-1))で割った余りにおける、各係数の総和となる。
この計算はいわゆる高速きたまさ法で高速に求められる。

次にm and N=mを満たすmに対するA[m]の総和をもとめたい。
Nを2進数表記したとき、1が立つビットの位置の数列をBとすると、(1+x^(2^B[0]))*(1+x^(2^B[1]))*...を(x^K-(1+x+x^2+...+x^(K-1))で割ればよい。
これはx^Nを求めるときの手順を少しいじくり、途中1を加算するようにすれば求められる。

ll N,K;

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

vector<ll> mod(vector<ll> V) {
	// Vを1+x+x^2+....x^(K-1)-x^Kで割った余りを取る
	vector<ll> S(1<<17);
	for(int i=V.size()-1;i>=0;i--) {
		(S[i]+=S[i+1]);
		(V[i]+=S[i])%=mo;
		if(i>=K) {
			(S[i-1]+=V[i]);
			if(i>K) (S[i-(K+1)]+=mo-V[i]);
			V[i]=0;
		}
	}
	return V;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>K>>N;
	vector<ll> X(1<<17),R(1<<17);
	X[1]=1;
	R[0]=1;
	FOR(i,60) {
		if(N&(1L<<i)) {
			X[0]++;
			//R*=1+X^(2^i)
			R=mod(MultPoly(X,R));
			X[0]--;
		}
		X=mod(MultPoly(X,X));
	}
	
	ll ret=0;
	FORR(v,R) ret+=v;
	
	cout<<ret%mo<<endl;
	
	
}

まとめ

本番(1+x^(2^B[0]))*(1+x^(2^B[1]))*...を処理することは思いつけたのに、そこで高速きたまさ法を使うことに考えが至らず。
せっかくGまで速かったのにもったいない…。