yukicoder : No.2499 Sum of Products of Sums

こういうの方針が立ってもすぐに詰められないんだよな。
https://yukicoder.me/problems/no/2499

問題

H*Wのマス目がある。
各マス目に非負整数を埋めて行くが、各行rの総和はA[r]以上B[r]未満という制限が与えられる。
その後、各列の総和S[1]～S[W]を取りその積を考える。

マスへの整数の埋め方全通りにおける、上記の積の総和を求めよ。

解法

各列の総和の積を取るということは、各列から1マスずつ選んだ時の積の総和を、(H^W)通りのマスの選び方について総和を取ればよいことになる。
見方を変えて、1行ごとに何マス選ぶかを考えていこう。

(r-1)行目までaマス選んだ時、その値の総和をdp(r-1,a)とする。
r行目から新たにbマス選ぶとき、その値の総和をf(r,b)とする。
bマスの選び方を考えると
dp(r,a+b) += dp(r-1,a)*C(a+b,b)*f(r,b)
と遷移できる。
f(r,b)は二項係数で計算できる。
dp(r-1,*)からdp(r,*)の遷移は積和の形なのでFFTで畳み込もう。

int H,W;
int L[1010],R[1010];
const ll mo=998244353;

const int NUM_=2000003;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

vector<ll> from;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

ll C[2020],D[2020];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	
	cin>>H>>W;
	vector<ll> F(W+1);
	F[0]=1;
	while(H--) {
		int A,B;
		cin>>A>>B;
		
		ll pb=1,pa=1,q=1;
		ll b=W+B;
		ll a=W+A-1;
		FOR(i,2*W+1) {
			C[i]=pb*factr[i]%mo;
			D[i]=pa*factr[i]%mo;
			pb=pb*b%mo;
			b--;
			pa=pa*a%mo;
			a--;
		}
		vector<ll> F2,G;
		FOR(i,W+1) {
			F2.push_back(F[i]*fact[W-i]%mo);
			G.push_back((C[W+i]+mo-D[W+i])*factr[i]%mo);
		}
		F2=MultPoly(F2,G,1);
		F2.resize(W+1);
		FOR(i,W+1) F[i]=F2[i]*factr[W-i]%mo;
	}
	cout<<F[W]<<endl;
	
}

まとめ

この形の数え上げは少しずつ慣れてきた。