割とシンプル。
https://yukicoder.me/problems/no/2524
問題
RBで構成されたN文字の文字列Sが与えられる。
Sのi文字部分文字列のうち、RとBが交互に登場するものは何通りか。
i=1~Nそれぞれについて求めよ。
解法
f(i) := xの多項式で、x^kの係数はSのi文字目までのうちk文字の部分文字列で、末尾がRのものの数
g(i) := xの多項式で、x^kの係数はSのi文字目までのうちk文字の部分文字列で、末尾がBのものの数
とすると、f(i)、g(i)からf(i+1),g(i+1)が計算できる。
この関係は2*2の多項式の行列で計算でき、N個の行列の積の要素である4つの多項式の和を求めれば、そのx^iの係数が問題文の解となる。
const int mo=998244353; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>; template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(int m=n; m>=2; m/=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=v[j2]; v[j1]=(t1+t2+mo)%mo; v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; if(s<=64) { //fastpath vec<T> R(s*2); for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } vec<T> P2(s*2),Q2(s*2); FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i]; FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i]; swap(P,P2),swap(Q,Q2); } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } template<class T> vec<T> AddPoly(vec<T> P,vec<T> Q) { if(P.size()<Q.size()) swap(P,Q); for(int i=0;i<Q.size();i++) (P[i]+=Q[i])%=mo; return P; } int N; string S; ll ret[201010]; queue<vector<vector<ll>>> Q; queue<vector<vector<ll>>> Q2; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>S; FOR(i,N) { vector<vector<ll>> V(4); V[0]=V[3]={1}; if(S[i]=='R') { V[1]={0,1}; V[2]={0}; } else { V[1]={0}; V[2]={0,1}; } Q.push(V); } while(Q.size()>1) { while(Q2.size()) Q2.pop(); vector<vector<ll>> V(4); while(Q.size()>=2) { auto a=Q.front(); Q.pop(); auto b=Q.front(); Q.pop(); V[0]=AddPoly(MultPoly(a[0],b[0],1),MultPoly(a[1],b[2],1)); V[1]=AddPoly(MultPoly(a[0],b[1],1),MultPoly(a[1],b[3],1)); V[2]=AddPoly(MultPoly(a[2],b[0],1),MultPoly(a[3],b[2],1)); V[3]=AddPoly(MultPoly(a[2],b[1],1),MultPoly(a[3],b[3],1)); Q2.push(V); } if(Q.size()) Q2.push(Q.front()); swap(Q,Q2); } vector<vector<ll>> R=Q.front(); FORR(a,R) { FOR(i,a.size()) (ret[i]+=a[i])%=mo; } for(i=1;i<=N;i++) cout<<ret[i]<<endl; }
まとめ
行列の中に多項式入れるの、最近しばしば見るな。