これ系苦手。
https://yukicoder.me/problems/no/2688
問題
初期状態で細胞が1個ある。
この細胞は誕生後t秒目に確率Pで新たな細胞を生成する。
またこの細胞は誕生後t+0.5秒目に確率Q^tの確率で生き残る。
P,Qが与えられたとき、T秒後に残る細胞の数の期待値を求めよ。
解法
前提として、Easyの場合はO(T^2)解法で解ける。
dp(t,s) := t秒後の時点で、誕生後s秒経過した細胞の数の期待値
とするとdp(t,s)→dp(t+1,s+1)とdp(t+1,1)に対する配るDPができるためである。
f(i) := i秒目に生まれる細胞の数の期待値
とすると、その細胞があと(T-i)秒生き残る確率は容易に計算できる。
P(x) := sum(f(i)*x^i)とする母関数を計算すればよい。
const ll mo=998244353; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>; template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(int m=n; m>=2; m/=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=v[j2]; v[j1]=(t1+t2+mo)%mo; v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; if(s<=64) { //fastpath vec<T> R(s*2); for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } vec<T> P2(s*2),Q2(s*2); FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i]; FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i]; swap(P,P2),swap(Q,Q2); } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } template<class T> vec<T> inverse(vec<T> a,int tsize=-1) { assert(a[0]>0); if(tsize==-1) tsize=a.size(); vec<T> b={(T)modpow(a[0])}; while(b.size()<tsize) { vec<T> c(a.begin(),a.begin()+min(tsize,2*(int)b.size())); vec<T> d=MultPoly(b,b,true); if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size()); c = MultPoly(c,d,true); b.resize(2*b.size()); int i; for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo; } b.resize(tsize); return b; } ll P1,P2,Q1,Q2,T; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>P1>>P2>>Q1>>Q2>>T; P1=P1*modpow(P2)%mo; Q1=Q1*modpow(Q2)%mo; vector<ll> G={1}; for(i=1;i<=T;i++) { G.push_back(mo-P1*modpow(Q1,1LL*i*(i-1)/2)%mo); } auto G2=inverse(G); ll ret=0; G2.resize(T+1); FOR(i,T+1) { ret+=G2[i]*modpow(Q1,1LL*(T-i)*(T-i+1)/2)%mo; } cout<<ret%mo<<endl; }
まとめ
最初DPをどうにか高速化しようとしてたけど、最初から母関数考えた方が楽だったのかな。