kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

TopCoder SRM 613 Div1 Medium RandomGCD

本番つめが甘くて正答できず。
アプローチまではよかったんだけどなぁ。
http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13016

問題

数N,Kが与えられる。
low~highのうちのいずれかの整数をN個並べた数列を作る。
この時、数列の全要素の最大公約数がKとなる数列の作り方は何通りあるか。

解法

まず数列中の要素はすべてKの倍数でなければならないので、lowより大きくhighより小さいKの倍数のみが解の候補になりうる。
よって、low=(low+(K-1))/K、high=high/Kで置き換えよう。
以後はKを無視でき、数列の全要素の最大公約数を1にすることを考えればよい。

i=1~(high-low)の範囲で総当たりし、「選んだ数値がいずれもiの倍数になる」ような数の組み合わせを考える。

この数の計算は容易で(low+(i-1))/i*i~hi/i*iの間のiの倍数である。
この数の個数をKとすると、それらで構成される数列はK^N-K通りである。
K引いているのは全部が同じ数字だと、各数値がiの倍数であることが意味を持たない(iが何だろうとなんかしらの倍数になるため)である。

あとはこれを包除原理の要領で足したり引いたりすればよい。
素因数の数の偶奇に合わせて(K^N-K)を足し引きする。
ただし素因数が2乗以上になっている場合は、足しも引きもしない。
9の倍数の数の集合は3の倍数の集合に含まれているので、さらに足し引きする必要がないためである。

最後に注意点として、low=1の場合、lowだけで構成される数列は題意を満たすので1加算する。


本番は(K^N-K)の-Kの下りを導きだせず正答できなかった。
上記包除原理や平方数の下りだが、どうもメビウス関数・メビウスの反転公式と関係があるようだ。
後でもう一度蟻本を確認してみよう。

ll mo=1000000007;

int NP,prime[100000];
const int prime_max = 100000;
void cprime(int hoge) {
	static int p[prime_max];
	int i,j;
	NP=0;
	for(i=2;i<hoge;i++) {
		if(p[i]) continue;
		prime[NP++]=i;
		for(j=i*2;j<hoge;j+=i) p[j]=i;
	}
}

ll modpow(ll a, ll n) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}
int vis[100001];

class RandomGCD {
	public:
	int countTuples(int N, int K, int low, int high) {
		low=(low+(K-1))/K;
		high=high/K;
		if(low>high) return 0;
		cprime(high-low+1);
		int i,j;

		ll ret=0;
		for(i=1;i<=high-low;i++) {
			int nd=1,xx=i;
			int lo=(low+(i-1))/i;
			int hi=high/i;
			if(hi<lo) continue;
			
			int ng=0;
			FOR(j,NP) {
				
				if(xx<prime[j] || ng) break;
				if(xx%prime[j]==0) {
					int ii=0;
					nd=-nd;
					while(xx%prime[j]==0) xx/=prime[j],ii++;
					if(ii>1) ng++;
				}
			}
			if(ng) continue;
			if(xx>1) nd=-nd;
			ret=(ret+mo+nd*(modpow(hi-lo+1,N)-(hi-lo+1)))%mo;
		}
		
		if(low==1) ret++;
		ret %= mo;
		return (int)ret;
	}
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