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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.94 圏外です。(EASY) 、No.96 圏外です。

yukicoder

いいアレンジ。
http://yukicoder.me/problems/103
http://yukicoder.me/problems/115

問題

2人が1km離れた距離で通信できる無線機を持っている。
また、幾つかの中継機を中継することでさらに長い距離で通信できる。

無線機同士や、無線機と中継機は1kmまで通信でき、中継機同士は10kmまで通信できる。
N個の中継機の座標(X[i],Y[i])が与えられる。
2人が任意の位置に移動できるとき、通信できる最大距離を求めよ。

解法(easy)

N≦1000なので、2中継機の距離が10km以内か、総当たりでチェックできる。
そこで、まず互いに通信可能な中継機をUnion-Findで連結していく。
連結成分中で、最大距離となる中継機の対を求められれば、後はその距離に2を足したものが解である。
N==0の時は解が1となる点に注意。

class UF {
	public:
	static const int ufmax=1052;
	int ufpar[ufmax],ufrank[ufmax],ufcnt[ufmax];
	UF() { init();}
	void init(){int i; FOR(i,ufmax) { ufpar[i]=i; ufrank[i]=0; ufcnt[i]=1; } }
	int find(int x) {	return (ufpar[x]==x)?(x):(ufpar[x] = find(ufpar[x]));}
	int operator[](int x) {return find(x);}
	int count(int x) {return ufcnt[find(x)];}
	void unite(int x,int y) {
		x = find(x); y = find(y);
		if(x==y) return;
		if(ufrank[x]<ufrank[y]) ufpar[x]=y, ufcnt[y]+=ufcnt[x];
		else {ufpar[y]=x; ufcnt[x]+=ufcnt[y]; if(ufrank[x]==ufrank[y]) ufrank[x]++;}
	}
};

int N;
int X[1001],Y[1001];
UF uf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) cin>>X[i]>>Y[i];
	FOR(x,N) FOR(y,N) if((X[x]-X[y])*(X[x]-X[y])+(Y[x]-Y[y])*(Y[x]-Y[y])<=100) uf.unite(x,y);
	double ma=1;
	if(N>0) ma=2;
	FOR(x,N) FOR(y,N) if(uf[x]==uf[y]) ma=max(ma,2+sqrt((X[x]-X[y])*(X[x]-X[y])+(Y[x]-Y[y])*(Y[x]-Y[y])));
	_P("%.12lf\n",ma);
}

解法(hard)

こちらはNが120,000まで増えたため、2中継機の距離の総当たりはできない。
ここで、中継機が直接通信する距離が10kmと小さいことを用いて、直接通信する中継機の範囲を絞りこむ。

まず中継機をX座標ごとに分類する。
そして(X[i],Y[i])の中継機に対しては、(X[i],Y[i]-10)~(X[i]+10,Y[i]+10)の範囲にある中継機だけ判定すればよい。
上記座標の範囲に含まれる中継機は200個程度なので、120,000*200の総当たりをしても間に合う。

上記処理でUnion-Findにより中継機の連結成分を求める。
次に連結成分内の最遠点の対を求めるが、これも総当たりするとO(N^2)かかりTLEする。
そこで(X[i],Y[i])の範囲が狭いことを利用し、これらの点の凸包を求め、凸包の頂点間のみ最遠点判定を行えばよい。

class UF {
	public:
	static const int ufmax=120200;
	int ufpar[ufmax],ufrank[ufmax],ufcnt[ufmax];
	UF() { init();}
	void init(){int i; FOR(i,ufmax) { ufpar[i]=i; ufrank[i]=0; ufcnt[i]=1; } }
	int find(int x) {	return (ufpar[x]==x)?(x):(ufpar[x] = find(ufpar[x]));}
	int operator[](int x) {return find(x);}
	int count(int x) {return ufcnt[find(x)];}
	void unite(int x,int y) {
		x = find(x); y = find(y);
		if(x==y) return;
		if(ufrank[x]<ufrank[y]) ufpar[x]=y, ufcnt[y]+=ufcnt[x];
		else {ufpar[y]=x; ufcnt[x]+=ufcnt[y]; if(ufrank[x]==ufrank[y]) ufrank[x]++;}
	}
};
ll veccross(pair<int,int> p1,pair<int,int> p2,pair<int,int> p3) {
	p3.first-=p1.first;p2.first-=p1.first;
	p3.second-=p1.second;p2.second-=p1.second;
	return p3.first*(ll)p2.second-p2.first*(ll)p3.second;
}

vector<int> convex_hull(vector< pair<int, int> >& vp) {
	vector<pair<pair<int, int>, int> > sorted;
	vector<int> res;
	int i,k=0,rb;
	
	if(vp.size()<=2) {
		if(vp.size()>=1) res.push_back(0);
		if(vp.size()>=2) res.push_back(1);
		return res;
	}
	
	FOR(i,vp.size()) sorted.push_back(make_pair(vp[i],i));
	sort(sorted.begin(),sorted.end());
	res.resize(vp.size()*2);
	/* bottom */
	FOR(i,vp.size()) {
		while(k>1 && veccross(vp[res[k-2]],vp[res[k-1]],sorted[i].first)<=0) k--;
		res[k++]=sorted[i].second;
	}
	/* top */
	for(rb=k, i=vp.size()-2;i>=0;i--) {
		while(k>rb && veccross(vp[res[k-2]],vp[res[k-1]],sorted[i].first)<=0) k--;
		res[k++]=sorted[i].second;
	}
	res.resize(k-1);
	return res;
}

int N;
int X[120001],Y[120001];
UF uf;
map<int,int> YS[20015];

vector<pair<int,int> > V[120001];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y,y2,x2;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) {
		cin>>X[i]>>Y[i], X[i]+=10001,Y[i]+=10001;
		YS[X[i]][Y[i]]=i;
	}
	
	FOR(x,20002) {
		ITR(it,YS[x]) {
			int cur=it->first;
			map<int,int>::iterator it2=it;
			for(it2++;it2!=YS[x].end();it2++) {
				if(it2->first-it->first>10) break;
				uf.unite(it->second,it2->second);
			}
			for(x2=x+1;x2<=x+10;x2++) {
				for(map<int,int>::iterator it2=YS[x2].lower_bound(it->first-10); it2!=YS[x2].end();it2++) {
					if(it2->first<it->first && (x2-x)*(x2-x)+(it->first-it2->first)*(it->first-it2->first)>100) continue;
					if((x2-x)*(x2-x)+(it->first-it2->first)*(it->first-it2->first)>100) break;
					uf.unite(it->second,it2->second);
				}
			}
		}
	}
	
	FOR(i,N) V[uf[i]].push_back(make_pair(X[i],Y[i]));
	
	double ma=1;
	FOR(i,N) if(V[i].size()) {
		if(V[i].size()==1) ma=max(ma,2.0);
		else if(V[i].size()==2) ma=max(ma,2+sqrt((V[i][0].first-V[i][1].first)*(V[i][0].first-V[i][1].first)+(V[i][0].second-V[i][1].second)*(V[i][0].second-V[i][1].second)));
		else {
			vector<int> ch=convex_hull(V[i]);
			FOR(x,ch.size()) for(y=x+1;y<ch.size();y++)
				ma=max(ma,2+sqrt((V[i][ch[x]].first-V[i][ch[y]].first)*(V[i][ch[x]].first-V[i][ch[y]].first)+(V[i][ch[x]].second-V[i][ch[y]].second)*(V[i][ch[x]].second-V[i][ch[y]].second)));
		}
	}
	_P("%.12lf\n",ma);
}

まとめ

Hardは若干難しいけど、適度にテクニックが必要な一方、トリッキーな解法は不要で着実に実装力が試される良い練習問題。

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