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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.283 スライドパズルと魔方陣

本番はあと一歩と思ったけど、結局スライドパズルの性質を誤って理解してたので一歩でもなかった。
http://yukicoder.me/problems/664

問題

N*Nのグリッドからなるスライドパズルを考える。
初期状態で1つの空きマスを除き、1~(N*N-1)の整数の入ったパネルが1つずつ入っている。

これらのパネルをスライドパズルの要領で動かし、最後に空きマスに(N*N)の値のパネルをはめ込み、魔方陣を作りたい。
そのような魔方陣は作成可能か。可能なら一例を示せ。

解法

N==2の時はそもそも魔方陣は作れないので解無し。

まず魔方陣を作ろう。魔方陣はyukicoderで過去に作成している。
yukicoder : No.217 魔方陣を作ろう - kmjp's blog

スライドパズルは周知のとおり、パネルを任意の並びにすることはできない。
Editorialにあるとおり、空きマスに(N*N)パネルをはめた上で、整理された状態(1~N*Nが順に並ぶ)と比較して、置換と((N*N)マスの整理状態とのマンハッタン距離)の和の偶奇が一致する状態にしか移行できない。
入力された状態と、作成した状態で偶奇が一致するなら、作成した魔方陣をそのまま答えればよい。
そうでない場合、なんとか作成した魔方陣を変形して、偶奇を反転させればよい。
それには以下の手順を取ればよい。

  • N%4!=1なら、魔方陣を左右反転させればよい。
  • N%4==1なら、対称魔方陣であれば、中心に線対称にある2列または2行を入れ替えればよい。No.217で作成した魔方陣は対称なのでこの手法が適用できる。
int N;
int A[51][51],B[2501];
int inv,inv2;

int R[51][51];

void magic(int N) {
	int i,x,y;
	if(N%2) {
		y=0,x=N/2;
		FOR(i,N*N) {
			R[y][x]=i+1;
			int ty=(y+N-1)%N,tx=(x+1)%N;
			if(R[ty][tx]!=0) ty=(y+1)%N, tx=x;
			y=ty,x=tx;
		}
	}
	else if(N%4==0) {
		FOR(y,N) FOR(x,N) {
			int tx=x%4,ty=y%4;
			if((tx%3==0)^(ty%3==0)) R[y][x]=N*N+1-(y*N+x+1);
			else R[y][x]=y*N+x+1;
		}
	}
	else {
		int RR[51][51]={};
		int T[51][51]={};
		int N2=N/2;
		magic(N/2);
		FOR(y,N/2) FOR(x,N/2) RR[y][x]=R[y][x];
		FOR(y,N2) FOR(x,N2) RR[y][x]=(RR[y][x]-1)*4;
		FOR(y,N2) FOR(x,N2) {
			if(y==N2/2+1) T[y][x]=1;
			if(y>N2/2+1) T[y][x]=2;
		}
		swap(T[N2/2][N2/2],T[N2/2+1][N2/2]);
		
		FOR(y,N2) FOR(x,N2) {
			if(T[y][x]==0) R[y*2][x*2]=RR[y][x]+4, R[y*2][x*2+1]=RR[y][x]+1;
			else           R[y*2][x*2]=RR[y][x]+1, R[y*2][x*2+1]=RR[y][x]+4;
			
			if(T[y][x]!=2) R[y*2+1][x*2]=RR[y][x]+2, R[y*2+1][x*2+1]=RR[y][x]+3;
			else           R[y*2+1][x*2]=RR[y][x]+3, R[y*2+1][x*2+1]=RR[y][x]+2;
		}
	}
}

int dodo() {
	int vis[2501]={};
	int num=0,i;
	FOR(i,N*N) if(vis[i]==0) {
		int hoge=0;
		int cur=i;
		while(vis[cur]==0) {
			vis[cur]=1;
			num++;
			cur=B[cur]-1;
		}
		num^=1;
	}
	FOR(i,N*N) if(B[i]==N*N) num^=(N-1-(i/N))^(N-1-(i%N));
	return (num&1)>0;
	
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(y,N) FOR(x,N) {
		cin>>A[y][x];
		if(A[y][x]==0) A[y][x]=N*N;
	}
	if(N==2) return _P("impossible\n");
	
	magic(N);
	
	FOR(y,N) FOR(x,N) B[y*N+x]=A[y][x];
	int numA=dodo();
	FOR(y,N) FOR(x,N) B[y*N+x]=R[y][x];
	int numR=dodo();
	
	_P("possible\n");
	if((numA+numR)%2==1) {
		if(N%4==1) FOR(y,N) swap(R[y][0],R[y][N-1]);
		else FOR(y,N) FOR(x,N/2) swap(R[y][x],R[y][N-1-x]);
	}
	
	FOR(y,N) FOR(x,N) _P("%d%c",R[y][x],(x==N-1)?'\n':' ');
}

まとめ

本番は置換の偶奇だけ考えてしまい、空きマスの位置を考慮し忘れて失敗。
反転や回転で偶奇をずらすのは色々試みたのだけど、そもそも偶奇をずらす対象の値が間違っていたね。

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