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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces #369 Div2 D. Directed Roads

Codeforces

みんなずいぶん少ないコードで解いている…。
http://codeforces.com/contest/711/problem/D

問題

N頂点N辺のグラフがある。
各頂点iは頂点A[i]と辺をもつ(2頂点間に2本辺がある場合もある)。

これらの各辺に向きを付けるとすると、2^N通りの付け方が考えられる。
うち向きを付けた後の辺において閉路ができない組み合わせは何通りか。

解法

このように作られるグラフは、各連結成分に対し閉路は1通りになる。
a頂点の閉路を成すa本の辺に向きを付ける場合、2^a通り中すべて同じ向きを向く2通りだけが閉路を成す。

よって、まず元のグラフで閉路を検出しよう。
その後各辺・閉路に対し以下を掛け合わせる。

  • 閉路外にある辺はどちらを向いてもいいので2通りどちらでも良い。
  • a頂点の閉路があったら、(2^a-2)通りを掛け合わせる。

以下のコードでは無駄に二重辺連結成分分解をしているが、このようなグラフは単純なDFSでも閉路検出できる。

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

SCC_BI bi;


int N;
int A[202020];
int mp[201010];
ll mo=1000000007;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	bi.init(N);
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i], A[i]--;
		bi.add_edge(i,A[i]);
	}
	bi.scc();
	
	ll ret=1;
	FOR(i,bi.SC.size()) {
		x = bi.SC[i].size();
		if(x==1) {
			ret = ret*2%mo;
		}
		else {
			ret = ret * (modpow(2,x)+(mo-2)) % mo;
		}
	}
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

このタイプのグラフで閉路検出するライブラリは持っておいた方がいいのかな…。

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