kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces ECR #024 : G. Four Melodies

Codeforces

本番アレかなーと思いつつ自信がなくて放置した方針であってた。
http://codeforces.com/contest/818/problem/G

問題

N要素の数列Aが与えられる。
次の条件を満たすよう4つの部分列を選ぶとき、その総要素数の最大値を求めよ。

  • ここから互いに共通部分を持たない
  • 各部分列内において、隣接要素の値は差の絶対値が1であるか、7で割った余りが等しいかどちらかを満たす。

解法

問題文にある通り、ECR022のアレンジである。
ECR022の解法はO(N^2)だが、これと同様の方針でこの問題を解くとO(N^4)で間に合わない。
Codeforces ECR #022: D. Two Melodies - kmjp's blog

この問題は最小コストフロー問題に還元して解くことができる。
長さ0の部分列を作ってしまうとコストがNかかり、1つ部分列中に要素を含むごとにコストが1減少するようなグラフを作ろう。

まず、各要素iに対し2つの頂点Ui,Viを作る。
Ui→Viには容量1、コスト0の辺を張る。この辺を通るということは、部分列中にこの要素を含むことを意味する。

A[i]とA[j]が隣接条件を満たす場合、Vi→Uiに容量無限、コスト(j-i-1)の辺を張ろう。
これは、A[i]の次にA[j]を選ぶと、間の(j-i-1)個の要素を選ばないことになるので、(j-i-1)コストが増加することを意味する。
同様にsource→Uiには容量無限コストi、Vi→sinkには要領無限コスト(N-1-i)の辺を張ろう。

このグラフに流量4流してその最小コストを求め、4Nから引けば解。
最悪辺がO(N^2)個もできるが、流量が少ないので何とか間に合う。

template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to, capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV];
	void add_edge(int x,int y, int cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	V mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e);
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost) {
						dist[e.to]=d+e.cost;
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1;
			int lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			flow -= lc;
			res += lc*dist[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return res;
	}
};

int N;
int A[3030];
MinCostFlow<6100,int> mcf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		mcf.add_edge(6000,i,1,i);
		mcf.add_edge(3000+i,6001,1,N-1-i);
		mcf.add_edge(i,3000+i,1,0);
	}
	FOR(y,N) FOR(x,y) {
		if(abs(A[x]-A[y])==1 || (A[x]%7==A[y]%7)) mcf.add_edge(3000+x,y,1,y-x-1);
	}
	
	cout<<N*4-mcf.mincost(6000,6001,4)<<endl;
}

まとめ

フローのライブラリを除けば非常にコードは短い。