Google Code Jam 2018 Round2 : C. Costume Change

R2Cにしては簡単な気がする。
https://codejam.withgoogle.com/2018/challenges/0000000000007706/dashboard/0000000000045875

問題

N*Nの行列が与えられる。
各列には1～N、-1～-Nのいずれかの値が入っている。
各要素１回変更を加えると、数字と符号のいずれか、もしくは同時に両方を任意の値に入れ替えることができる。
各列において、全行で登場する数字が異なり、かつ各行において、全列で登場する数字が異なるようにするには最小何回変更を加えればよいか。

解法

数字と符号を別々に考えると面倒だが、数字と符号は１手で同時に変更できることから、実質1～2Nの2N通りの数値を選択することに等しい。
ある要素に変更を加える場合、同じ行・同じ列に同じ数値が来ないようにしたいが、そもそも選択肢が2N個あるので、変更を加えるのであれば必ず他とかぶらないように選択できる。
よって、あとは変更を加える要素数を最小化するだけである。

逆に変更を加えない要素を最大化すると考えると、これはマッチング問題に置き換えられる。
以下のようにグラフを作ろう。

• sourceからN列に相当するN頂点に容量1の辺を張る
• 上記N頂点それぞれから、値1～2Nに相当する2N個の頂点(計N*2N個の頂点)に容量1の辺を張る
• 同様に、行に対してN*2N個の頂点→行に対応するN個の頂点→sinkと辺を張る。
• 既存の要素について、r行c列の数値がvなら、source側でr行目のv個目の頂点から、sink側でc列目のv個の頂点に辺を張る。

あとは最大フローを求めればよい。
点の数が多いが、Dinic法なら間に合う。

template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 53000;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV];
	void add_edge(int x,int y,V cap,bool undir=false) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,undir?cap:0});
	}
	void bfs(int cur) {
		MINUS(lev);
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			ITR(e,E[v]) if(e->cap>0 && lev[e->to]<0) lev[e->to]=lev[v]+1, q.push(e->to);
		}
	}
	V dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		for(;itr[from]<E[from].size();itr[from]++) {
			edge* e=&E[from][itr[from]];
			if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
				V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
				if(f>0) {
					e->cap-=f;
					E[e->to][e->reve].cap += f;
					return f;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	V maxflow(int from, int to) {
		ZERO(itr);
		
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) return fl;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
	}
};


int T,testcase;
int N;
int A[101][101];

MaxFlow_dinic<int> mf;

void solve(int TC) {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,53000) mf.E[i].clear();
	FOR(i,N) {
		mf.add_edge(0,2+i,N);
		FOR(j,2*N) mf.add_edge(2+i,200+i*200+j,1);
		FOR(j,2*N) mf.add_edge(30000+i*200+j,51000+i,1);
		mf.add_edge(51000+i,1,N);
	}
	FOR(y,N) FOR(x,N) {
		cin>>A[y][x];
		if(A[y][x]>0) {
			A[y][x]--;
		}
		else {
			A[y][x]=2*N+A[y][x];
		}
		mf.add_edge(200+y*200+A[y][x],30000+x*200+A[y][x],1);
	}
	
	
	
	
	_P("Case #%d: %d\n",TC,N*N-mf.maxflow(0,1));
}

まとめ

本番エイヤで書いた解が通ってしまってびっくり。
まぁ落ち着いて考えればこれでいいんだけども。