想定解のはずの解法をバグで通せず、別解で力技で解いた。
http://yukicoder.me/problems/425
問題
N個の整数対(A[i],B[i])が与えられる。
を最小化できる正整数xのうち、最小のxを求めよ。
解法
xが増加するにつれ、maxの項のB[i]は大きくなり、minの項のB[i]は小さくなる。
よって、全体としてf(x)は下に凸な関数になる。
そのためWrite解説によると二分探索や三分探索で求められる。
自分は最初三分探索で書いたが、多くのxで最小値が一致するケースでWAを出してしまったので別解法でチャレンジ。
二次元座標上で、となる直線がN本あるので、一番下もしくは一番上に来る直線が入れ替わる(=交差する)ようなxを求め、そのx周辺についてf(x)を計算した。
一番下・上に来る直線が入れ替わるのは高々N回なので、f(x)を求めるのもO(N)回で済み、全体でO(N^2)で済む。
Nが小さいので、一番下・一番上の直線を求めるのは愚直にO(N^2)箇所の交点を求めても間に合う。
convex hull trickでも行けるけど、そこまでする必要はないでしょう。
int N; ll X[1010],Y[1010]; ll ret; ll m=1LL<<60; double cr[1010][1010]; void val(ll x) { ll ma=0,mi=1LL<<60; int i; if(x<1) return; FOR(i,N) ma=max(ma,Y[i]*x+X[i]) , mi=min(mi,Y[i]*x+X[i]); if(ma-mi<m || (ma-mi==m && x<ret)) m=ma-mi,ret=x; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N; FOR(i,N) cin>>X[i]>>Y[i]; FOR(x,N) FOR(y,N) cr[x][y] = (Y[x]==Y[y]) ? -1 : (X[y]-X[x])*1.0/(Y[x]-Y[y]); set<double> S; S.insert(1); FOR(i,2) { x=0; FOR(y,N) { if(i==0 && ((X[y]<X[x]) || (X[y]==X[x] && Y[y]<Y[x]))) x=y; if(i==1 && ((X[y]>X[x]) || (X[y]==X[x] && Y[y]>Y[x]))) x=y; } for(double xx=0;;) { int ne=x; double mi=1e10; FOR(y,N) if(cr[x][y]>xx && cr[x][y]<mi) ne=y, mi=cr[x][y]; if(mi>=1e10) break; S.insert(mi); xx=mi; x=ne; } } ITR(it,S) for(i=-2;i<=2;i++) val(*it+i); cout<<ret<<endl; }
まとめ
三分探索苦手意識が強い…。