yukicoder : No.317 辺の追加

★3にしては難しい？と思ったら案の定★4になった。
http://yukicoder.me/problems/896

問題

N頂点M辺からなるグラフが与えられる。

1～Nの各整数iに対して、元グラフにいくつか辺を追加してi頂点の連結成分からなるグラフを作りたい。
そのようなグラフは作れるか、またその際必要な最小の追加辺の数を求めよ。

解法

まずUnion-Find等で元のグラフの各連結成分の頂点数を数えよう。
そうするとこの問題は以下のように言い直せる。

総和がNである整数集合Cが与えられる。
1～Nの各整数iに対し、総和がiとなるCの部分集合があれば、その(最小要素数-1)を答えよ。

dp[i] := 総和がiとなる部分集合の要素数最小値
とすると、一見これは典型的なDP問題に見える。
ただ、各x∈Cにたいしてdp[i] = min(dp[i], dp[i-x]+1)で状態を更新する一般的なDPではO(N|C|)かかるのでTLEする。

Cに同じxが多数入っている場合、そのxの処理を高速化することを考えよう。
(多数入っていない場合は無視してよい。Cに含まれる異なるxは、高々O(√N)個でなので、それらの処理は典型的なDPでもO(N√N)で済む)

Cに同じxがk個入っていたとする。
するとdp[i] = min(dp[i], dp[i-x]+1, dp[i-2*x]+2, ... , dp[i-k*x]+k)で求めることができる。
このminの計算を高速に行うため、setにdp[i-x]-(i-x)/x, dp[i-2*x]-(i-2*x)/x, ... ,dp[i-k*x]-(i-k*x)/xを格納しておけば、その最小値がO(log k)で取り出せる。
あとはこのsetの中身の追加削除を適切に行っていけば良い。(例えばdp[i]の処理を行う場合は(dp[i-(k+1)*x]-(i-(k+1)*x)/x)はsetから削除する)

int N,M;

template<int um> class UF {
	public:
	vector<int> par,rank,cnt;
	UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;}
	void reinit() {int i; FOR(i,um) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;}
	int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));}
	int count(int x) { return cnt[operator[](x)];}
	int operator()(int x,int y) {
		if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x;
		cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y];
		if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y;
		rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x;
	}
};
UF<500000> uf;
map<int,int> E;
int mi[101010],pre[101010];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		uf(x-1,y-1);
	}
	FOR(i,N) if(uf[i]==i) E[uf.cnt[i]]++;
	FOR(i,N+1) mi[i]=N+100;
	mi[0]=0;
	
	FORR(r,E) {
		if(r.first>=100 || r.second<=10) {
			FOR(j,r.second) {
				for(i=N-r.first+1;i>=0;i--) mi[i+r.first]=min(mi[i+r.first],mi[i]+1);
			}
		}
		else {
			set<pair<int,int>> S[100];
			FOR(i,100) S[i].clear();
			
			S[0].insert({0,0});
			for(i=j=1;i<=N;i++,j++) {
				pre[i]=mi[i];
				if(j>=r.first) j=0;
				auto it=S[j].begin();
				
				if(it!=S[j].end()) {
					x=it->first+(it->second-j)/r.first+(i-it->second)/r.first;
					mi[i]=min(mi[i],x);
				}
				if(pre[i]<N) S[j].insert({pre[i]-(i-j)/r.first,i});
				x=i-r.first*r.second;
				if(x>=0) S[j].erase({pre[x]-(x-j)/r.first,x});
			}
			
		}
	}
	
	for(i=1;i<=N;i++) {
		if(mi[i]>N) mi[i]=0;
		_P("%d\n",mi[i]-1);
	}
	
}

まとめ

グラフと思わせておいてDPだった。