dwangoプログラミングコンテスト予選 2016 : E - 花火

一応手持ちのテクで解ける問題だった。
http://dwango2016-prelims.contest.atcoder.jp/tasks/dwango2016qual_e

問題

プレイヤーは座標0からLに向けて、非負の速度であれば任意のペースで移動できる。
途中N回花火が上がる。
時刻T[i]に位置P[i]で花火が上がるとき、プレイヤーが座標xにいると残念度が|P[i]-x|だけ上昇する。
最適な移動をしたとき、残念度の総和の最小値を求めよ。

解法

部分点解法

F(i,x)をi発目の花火が上がったとき、位置xにいる場合のi発目までの残念度の総和とする。

T[i-1]==T[i]なら間に移動できないのでF(i,x) = F(i-1,x) + |P[i]-x|
T[i-1]＜T[i]なら間に正の向きに移動可能なのでF(i,x) = (min{0≦p≦x}F(i-1,p)) + |P[i]-x|

このDPはO(NL)で済むので、部分点はこれで間に合う。

満点解法

上記DPを何とか速くすることを考える。
その際、下記の記事の考察を参照した。ただし解法は別。
第2回ドワンゴからの挑戦状予選E 花火のヒープ解法 - Qiita

F(i,x)は常に下に凸である。
よって、F(i,0)～F(i,L)において極小値となるxは最小値でもある。

以下のようなSegtreeを準備しよう。数を0にする処理は遅延処理可能なSegTreeで再現できる。

xの範囲に対して同じ数を足す
あるxに対し、現在の値を答える
xの範囲に対し、数を0にする

位置P[i]で花火が上がるとき、位置xにいるプレイヤーの残念度は|P[i]-x|上昇する。
不等号を払うと、x未満の位置では-x+P[i]、x以降の位置ではx-P[i]上昇する。
そこでF(i,x)=a*x+bの形で表し、a及びbをそれぞれSegTreeで管理し、花火が上がる度にa,bを更新していく。

次に最小値を求める処理だが、これは上記のとおりF(i,x)が下に凸なので、三分探索で求めることができる。
三分探索でF(i,x)の最小値を求めたら、F(i,y)(y＞x)についてa,bを一旦0にし、a=0,b=F(i,x)を足しこめば、F(i,y)をすべてF(i,x)と同じ値に出来る。

これでO(N*log^2L)とちょっと遅いが何とか間に合う。
三分探索を避け二分探索にするなど、もっと高速にする方法もあるようだ。

// 参照も更新もrange
template<class V,int NV> class SegTree_3 {
public:
	vector<V> val;
	vector<int> clean;
	SegTree_3(){ val.resize(NV*2); clean.resize(NV*2);}
	
	ll getval(int v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(r<=v || v<l) return 0;
		ll ret=val[k];
		if(clean[k]==0 && r-l>=2) ret+=getval(v,l,(l+r)/2,k*2)+getval(v,(l+r)/2,r,k*2+1);
		return ret;
	}
	
	void add(int x,int y, V v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r || x>=y) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			val[k]+=v;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			if(clean[k]==1) {
				clean[k]=0;
				val[2*k]=val[2*k+1]=0;
				clean[2*k]=clean[2*k+1]=1;
			}
			add(x,y,v,l,(l+r)/2,k*2);
			add(x,y,v,(l+r)/2,r,k*2+1);
		}
	}
	void clear(int x,int y,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r || x>=y) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			val[k]=0;
			clean[k]=1;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			if(clean[k]==1) {
				clean[k]=0;
				val[2*k]=val[2*k+1]=0;
				clean[2*k]=clean[2*k+1]=1;
			}
			val[2*k]+=val[k];
			val[2*k+1]+=val[k];
			val[k]=0;
			clear(x,y,l,(l+r)/2,k*2);
			clear(x,y,(l+r)/2,r,k*2+1);
		}
	}
};

int N,L,M;
vector<vector<int>> V;
SegTree_3<ll,1<<17> bta,btb;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>L;
	j=0;
	FOR(i,N) {
		cin>>x>>y;
		if(x!=j) j=x,V.push_back(vector<int>());
		V.back().push_back(y);
	}
	
	ll mix=0, miv=0;
	FORR(v,V) {
		FORR(r,v) {
			bta.add(0,r,-1);
			bta.add(r+1,L+1,1);
			btb.add(0,r,r);
			btb.add(r+1,L+1,-r);
		}
		
		int LL=0,RR=L;
		while(LL+6<=RR) {
			int x1=(LL*2+RR)/3;
			int x2=(LL+RR*2)/3;
			ll v1=bta.getval(x1)*x1+btb.getval(x1);
			ll v2=bta.getval(x2)*x2+btb.getval(x2);
			if(v1<=v2) RR=x2;
			else LL=x1;
		}
		
		miv=1LL<<60;
		for(x=LL;x<=RR;x++) {
			ll v=bta.getval(x)*x+btb.getval(x);
			if(v<miv) miv=v,mix=x;
			if(v>miv) break;
		}
		bta.clear(mix+1,L+1);
		btb.clear(mix+1,L+1);
		btb.add(mix+1,L+1,miv);
	}
	
	cout<<miv<<endl;
	
}

解法

本番もう少し落ち着いて考えられたらな。

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問題

解法

部分点解法

満点解法

解法