yukicoder : No.404 部分門松列

適度に頭を使う感じで良かったです。
http://yukicoder.me/problems/no/404

問題

N要素の数列Aと、Q個のクエリが与えられる。
各クエリは2値(L,R)からなる。
i＜j＜kである(i,j,k)の組のうち、A中の３要素A[i],A[j],A[k]が門松列を成し、かつ中央のA[j]が[L,R]の範囲に含まれる組み合わせ数を求めよ。

解法

A,L,Rの各値は相対的な大小だけが問題であり、絶対値は重要ではないので最初にA,L,Rを座標圧縮してしまおう。
あとはA[j]が中央となる門松列の数F(j)を列挙すれば、あとは個々のクエリに対してはSegTree, BIT, 累積和どれでも回答できる。

A[j]が中央となる門松列の数F(j)を計算するにあたり、まずAの要素が全て異なる場合を考えよう。
F(j)は以下のように表せる。
F(j) := (jの手前にあるA[j]より大きな要素数)*(jの後にあるA[j]より大きな要素数) + (jの手前にあるA[j]より小さな要素数)*(jの後にあるA[j]より小さな要素数)
式を構成する４つの値は、BITを2つ準備して数列の手前からと後ろからそれぞれA[x]の登場回数を数えていくことで列挙できる。

次にAが複数同じ値を持つケースを考える。
A[i]==A[k]の場合はA[i],A[j],A[k]は門松列を成さないが、上記F(j)の式はこのケースも門松列にカウントしてしまっている。
そこでこれらを上記式から引こう。

map等を使って以下の２値を管理する。
X(j,a) := 数列A中でjの手前iに対し、A[i]=aとなるiの個数
Y(j,a) := 数列A中でjの後iに対し、A[i]=aとなるiの個数
jに対しA[i]==A[k]となるようなi＜j＜kの組み合わせの数はsum_a(X(j,a)*Y(j,a))個なので
F(j) = (jの手前にあるA[j]より大きな要素数)*(jの後にあるA[j]より大きな要素数) + (jの手前にあるA[j]より小さな要素数)*(jの後にあるA[j]より小さな要素数) - sum_a(X(j,a)*Y(j,a))
で計算できる。

sum_a(X(j,a)*Y(j,a))の計算をjごとに毎回行うとO(N^2)かかるが、jが1個ずれた場合のX(j,a),Y(j,a)の変化の差分だけ考えればO(N)で処理できる。(mapだとlogNがつく)

int N;
int A[202020];
int Q;
int L[202020],R[202020];

ll LU[202020],RU[202020];
ll LD[202020],RD[202020];


template<class V, int ME> class BIT {
public:
	V bit[1<<ME],val[1<<ME];
	V total(int e) {V s=0;e++;while(e) s+=bit[e-1],e-=e&-e; return s;}
	V add(int e,V v) { val[e++]+=v; while(e<=1<<ME) bit[e-1]+=v,e+=e&-e;}
};

BIT<ll,21> LL,RR,ret;


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) cin>>A[i];
	cin>>Q;
	FOR(i,Q) cin>>L[i]>>R[i];
	
	vector<int> V;
	V.push_back(0);
	V.push_back(1<<30);
	FOR(i,N) V.push_back(A[i]);
	FOR(i,Q) V.push_back(L[i]),V.push_back(R[i]);
	sort(ALL(V));
	V.erase(unique(ALL(V)),V.end());
	
	FOR(i,N) {
		A[i]=lower_bound(ALL(V),A[i])-V.begin();
		LU[i]=LL.total(1<<20)-LL.total(A[i]);
		LD[i]=LL.total(A[i]-1);
		LL.add(A[i],1);
	}
	for(i=N-1;i>=0;i--) {
		RU[i]=RR.total(1<<20)-RR.total(A[i]);
		RD[i]=RR.total(A[i]-1);
		RR.add(A[i],1);
		ret.add(A[i],LU[i]*RU[i]+LD[i]*RD[i]);
	}
	
	map<ll,ll> sameL,sameR;
	FOR(i,N) sameR[A[i]]++;
	ll same=0;
	FOR(i,N) {
		same -= sameL[A[i]]*sameR[A[i]];
		ret.add(A[i],-same);
		sameR[A[i]]--;
		sameL[A[i]]++;
		same += sameL[A[i]]*sameR[A[i]];
	}
	
	FOR(i,Q) {
		x=lower_bound(ALL(V),L[i])-V.begin();
		y=lower_bound(ALL(V),R[i])-V.begin();
		cout<<ret.total(y)-ret.total(x-1)<<endl;
	}
	
}

まとめ

門松列どれだけ問題作れるんだ。