★3にしてはちょっとつらいと思ったら、補正入ったのね。
http://yukicoder.me/problems/no/463
問題
1~NのNマスからなるすごろくを考える。
スタートが1、ゴールがNのマスである。
それ以外のマスには数値C[i]が書かれている。
1~Mが等確率で出るサイコロを使い、すごろくを行う。
各マスに到達すると、C[i]だけお金を失う。
ゴールを超えるようなサイコロの目が出た場合、超えた分だけ折り返したマスに戻る。
ここで、1回だけ1~Mの自由な目を出すことができるとする。
最適なタイミングで自由な目を出せる場合、失うお金の総額の期待値を最小化せよ。
解法
まずは自由な目はおいておいて、普通にすごろくした場合の期待値を考える。
f(x) := 次にx番のマスに止まる場合、ゴールまでに失うお金の期待値
f(x)はとなる。
P(x+i)はxマス目からiの目のサイコロを出した場合の行き先である。
このf(x)は折り返しのため前後のマスの影響を受けるので、単純なDPで端から埋めていくことはできない。
そこでf(1)~f(N-1)に関する連立方程式を立ててそれを解こう。
次に、自由な目を出すことを考える。
g(x) := 次にx番のマスに止まる場合、ゴールまでに失うお金の期待値。なおまだ自由な目を出していない。
- x+M≧N、すなわち自由な目を出せばゴールに到達できるならg(x) = C[i]
- x+M<Nの場合、自由な目を使うか使わないかを選択できて
- このg(x)はより大きなg(x+i)にしか影響を受けないので、xを大きい順に埋めることができる。
const int MAT=105; long double mat[MAT][MAT],V[MAT],R[MAT]; // M*r+v=0となるr int Gauss(int n,long double mat_[MAT][MAT],long double v_[MAT],long double r[MAT]) { int i,j,k; long double mat[MAT][MAT],v[MAT]; memmove(mat,mat_,sizeof(mat)); memmove(v,v_,sizeof(v)); FOR(i,n) { if(mat[i][i]==0) { for(j=i+1;j<n;j++) if(mat[j][i]) break; if(j>=n) return -1; FOR(k,n) swap(mat[i][k],mat[j][k]); swap(v[i],v[k]); } v[i]/=mat[i][i]; for(k=n-1;k>=i;k--) mat[i][k]/=mat[i][i]; for(j=i+1;j<n;j++) { v[j]-=v[i]*mat[j][i]; for(k=n-1;k>=i;k--) mat[j][k]-=mat[i][k]*mat[j][i]; } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(j=n-1;j>i;j--) v[i]-=mat[i][j]*v[j],mat[i][j]=0; r[i]=v[i]; } return 0; } int N,M; int C[101010]; long double dp[1010]; long double dp2[1010]; long double dpdp(int cur) { if(cur==N-1) return 0; if(dp2[cur]>=0) return dp2[cur]; if(cur+M>=N-1) return C[cur]; long double mi=1e20; int i; for(i=1;i<=M;i++) mi=min(mi,dp[cur+i]); long double ave=0; for(i=1;i<=M;i++) ave+=dpdp(cur+i)/M; return dp2[cur]=C[cur]+min(mi,ave); } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M; FOR(i,N-2) cin>>C[i+1]; FOR(y,N-1) { for(x=1;x<=M;x++) { if(y+x<N-1) mat[y][y+x]+=1.0/M; if(y+x>N-1) mat[y][(N-1)-((y+x)-(N-1))]+=1.0/M; } mat[y][y]-=1; mat[y][N-1]=C[y]; } mat[N-1][N-1]=1; V[N-1]=1; Gauss(N,mat,V,R); FOR(i,N-1) dp[i]=R[i]; FOR(i,N) dp2[i]=-1; _P("%.12lf\n",(double)dpdp(0)); }
まとめ
これ系苦手。
連立方程式ではなく反復でどうにかする手もあるようね。