yukicoder : No.573 a^2[i] = a[i]

実装寄り考察が重め。
https://yukicoder.me/problems/no/573

問題

正整数Nが与えられる。

0-originでN要素の数列a[i]を考える。
各要素は0～(N-1)のいずれかを取るとき、a[a[i]]=a[i]を満たすようなaは何通りあるか。

解法

aがどのような場合、条件を満たすか考えよう。
a[i]=iである要素は、当然a[a[i]]=a[i]=iなので条件を満たす。
a[i]≠iである場合、a[a[i]]=iであるためにはa[j]=jであるようなjに対しa[i]=jでなければならない。

a[i]=iである要素がx個あったとする。残りの(N-x)個の要素a[j]は、前述のx個のどれかでなければならない。
よって条件を満たすaは通りである。
あとはxを総当たりして上記式の総和を取れば良い。

ll mo=1000000007;
ll combi(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll hcomb(int P_,int Q_) { return (P_==0&&Q_==0)?1:combi(P_+Q_-1,Q_);}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

int N;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		ret += combi(N,i) * modpow(i,N-i)%mo;
		
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

式自体は単純なんだよね。