AtCoder AGC #021 : F - Trinity

この考え方自体はどこかで見たことあるな。
https://agc021.contest.atcoder.jp/tasks/agc021_f

問題

N*Mのグリッドがあり、一部のマスが黒く塗られているものとする。
ここでN要素の数列AとM要素の数列B,Cが以下のように定義される。

• A[i]はi行目で最も左にある黒マスが何列目かを示す(もしくは1個も黒マスがない)
• B[j]はj列目で最も上にある黒マスが何列目かを示す(もしくは1個も黒マスがない)
• C[j]はj列目で最も下にある（以下同様）

A,B,Cの取り方としてあり得るものは何通りか。

解法

以下を考える。
f(X,Y) := N*Xのグリッドで、N行中Y行に黒マスがあるような物に対し、題意同様のA,B,Cの組み合わせ
X+1列目を追加することを考えると、その列に黒マスがあることでYが増える場合がある。
また、すでに黒マスがある行に対しても(X+1)列目にマスが増えることでB[X+1]やC[X+1]の取りえずバリエーションが考えられる。

この黒マスが新規に登場する列や、すでに黒マスがある行でもさらに黒マスが増える行のうち最上段・最下段の組み合わせを考えるとf(X,Y)からf(X+1,Z)への遷移とその組み合わせを考えることができる。
最終的にf(N,x)*C(M,x)を足し合わせれば解である。
ここまででO(N*M^2)で部分点。
満点にはf(X,Y)からf(X+1,Z)への遷移における組み合わせの数に法則性があることから、NNTに持ち込むことで高速化する必要がある。

int N,M;
ll dp[202][8080];
ll mo=998244353;

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll combi(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}
vector<ll> fft(vector<ll> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		ll wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				ll t1=v[j1],t2=w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

vector<ll> MultPoly(vector<ll> P,vector<ll> Q,bool resize=false) {
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	vector<ll> B(1<<14,0);
	for(i=1;i<=8000;i++) B[i]=factr[i+2];
	
	cin>>N>>M;
	dp[0][0]=1;
	FOR(i,M) {
		vector<ll> A(1<<14,0),C;
		FOR(j,N+1) A[j]=dp[i][j]*factr[j]%mo;
		C=MultPoly(A,B);
		FOR(j,N+1) (dp[i+1][j]=C[j]*fact[j+2] + dp[i][j]*(1+combi(j+1,2)))%=mo;
	}

	ll ret=1;
	for(j=1;j<=N;j++) (ret+=dp[i][j]*combi(N,j))%=mo;
	
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

部分点なら取れたのかなぁ…でも時間内には無理そう。