kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder AGC #027 : F - Grafting

ARC

1900ptの割には考察は軽め？
https://beta.atcoder.jp/contests/agc027/tasks/agc027_f

問題

２つのN頂点のラベル付きグラフA,Bが与えられる。
A,Bはともに木を成している。

Aに対し以下の処理を繰り返し、Bと一致させることができるか判定せよ。
また、できる場合処理回数の最小値を求めよ。

  • Aの葉となる頂点vを1つ選び、vと隣接頂点の間の辺を消す。その後、任意の頂点とvの間で辺を足す。なお、各vは1回しか選択できない。

解法

解が(N-1)以下の場合、少なくとも1点は処理対象外の点がある。
そこでそのような点を総当たりすることを考えよう。
A,B両者上記の点を根とした構造を考える。

選んだ頂点は、移動前後でいずれも葉であることを用いる。

Bの頂点vのうち、親頂点との関係がAと異なっていたものがあるとする。
その場合、そのvは親頂点を変えるために処理対象としなければならない。
このvを処理対象にしたタイミングでは、vは葉でなければならない。
よって、vのSubTreeの頂点はいずれも処理対象となり、かつ親を先に処理しなければならない。

同様にBを探索して処理対象と判定された点vは、Aでは自身のSubTree内の頂点がすべて動いた後でないと動かせない。
よってAにおけるvのSubTreeもやはり処理対象となり、今度は葉から先に処理しなければならない。

ここから２つのグラフにおける処理対象の頂点の順番がわかるので、トポロジカルソートなり強連結成分分解なりで閉路があるか判定できる。
閉路がある場合、条件を満たす処理手順はなし。
閉路が無い場合、処理対象の点の数が解の候補となる。

なお、解がNとなる場合もある。
この場合固定する点を作ることはできないが、最初の１手を総当たりしてしまえば、以後その点は固定とみなせるので同様に以後上記手順を踏むことで解を求められる。

int T;
int N;
set<int> A[51],B[51];
vector<int> E[51];
int ret,numng;
int P[2][51],D[2][51],NG[51];

class SCC {
public:
	static const int MV = 60;
	vector<vector<int> > SC; int NV,GR[MV];
private:
	vector<int> E[MV], RE[MV], NUM; int vis[MV];
public:
	void init(int NV) { this->NV=NV; for(int i=0;i<MV;i++) { E[i].clear(); RE[i].clear();}}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); RE[y].push_back(x); }
	void dfs(int cu) { vis[cu]=1; for(int i=0;i<E[cu].size();i++) if(!vis[E[cu][i]]) dfs(E[cu][i]); NUM.push_back(cu); }
	void revdfs(int cu, int ind) { int i; vis[cu]=1; GR[cu]=ind; SC[ind].push_back(cu);
		FOR(i,RE[cu].size()) if(!vis[RE[cu][i]]) revdfs(RE[cu][i],ind);}
	void scc() {
		int c=0; SC.clear(); SC.resize(MV); NUM.clear();
		ZERO(vis); for(int i=0;i<NV;i++) if(!vis[i]) dfs(i);
		ZERO(vis); for(int i=NUM.size()-1;i>=0;i--) if(!vis[NUM[i]]){
			SC[c].clear(); revdfs(NUM[i],c); sort(SC[c].begin(),SC[c].end()); c++;
		}
		SC.resize(c);
	}
};

SCC sc;

void dfsa(int cur,int pre) {
	P[0][cur]=pre;
	if(cur!=pre) D[0][cur]=D[0][pre]+1;
	if(P[0][cur]==P[1][cur] && (cur==pre || NG[pre]==0)) NG[cur]=0, numng--;
	FORR(e,A[cur]) if(e!=pre) dfsa(e,cur);
}

void dfsb(int cur,int pre) {
	P[1][cur]=pre;
	if(cur!=pre) D[1][cur]=D[1][pre]+1;
	FORR(e,B[cur]) if(e!=pre) dfsb(e,cur);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>T;
	while(T--) {
		cin>>N;
		FOR(i,N) A[i].clear(), B[i].clear();
		FOR(i,N-1) {
			cin>>x>>y;
			A[x-1].insert(y-1);
			A[y-1].insert(x-1);
		}
		FOR(i,N-1) {
			cin>>x>>y;
			B[x-1].insert(y-1);
			B[y-1].insert(x-1);
		}
		ret=1010;
		FOR(i,N) {
			numng=N;
			FOR(j,N) NG[j]=1;
			ZERO(D);
			dfsb(i,i);
			dfsa(i,i);
			
			sc.init(N);
			FOR(j,N) if(NG[j]) {
				FORR(e,A[j]) if(NG[e] && D[0][e]>D[0][j]) sc.add_edge(e,j);
				FORR(e,B[j]) if(NG[e] && D[1][e]>D[1][j]) sc.add_edge(j,e);
			}
			sc.scc();
			if(sc.SC.size()==N) ret=min(ret,numng);
		}
		
		FOR(i,N) if(A[i].size()==1) {
			y=*A[i].begin();
			A[i].erase(y);
			A[y].erase(i);
			FOR(x,N) if(i!=x) {
				A[i].insert(x);
				A[x].insert(i);
				
				numng=N+1;
				FOR(j,N) NG[j]=1;
				ZERO(D);
				dfsb(i,i);
				dfsa(i,i);
				
				sc.init(N);
				FOR(j,N) if(NG[j]) {
					FORR(e,A[j]) if(NG[e] && D[0][e]>D[0][j]) sc.add_edge(e,j);
					FORR(e,B[j]) if(NG[e] && D[1][e]>D[1][j]) sc.add_edge(j,e);
				}
				sc.scc();
				if(sc.SC.size()==N) ret=min(ret,numng);
				A[i].erase(x);
				A[x].erase(i);
			}
			A[i].insert(y);
			A[y].insert(i);
		}
		
		if(ret==1010) ret=-1;
		cout<<ret<<endl;
	}
}

まとめ

まぁ本番中はここにたどり着いてすらいないんだけどね…。