yukicoder : No.1504 ヌメロニム

これも式変形が大変。
https://yukicoder.me/problems/no/1504

問題

N文字の文字列Sが与えられる。
Sの部分列2^N通りのうち、"i" + (k文字) + "n"の形になるものの組み合わせX(k)をkごとに求め、そのxorを取った値を求めよ。

解法

A(i) := S中の連続する部分列で、先頭iと末尾nの間にちょうどi文字他の文字が入っているものの数
とすると、
X(i) = sum(Comb(j,i) * A(j)) (j≧i)
で求めることができる。

まずAを求めることを考える。
f(x) := Sのi文字目が"i"なら、x^iの係数が1
g(x) := Sの末尾からi文字目が"n"なら、x^iの係数が1
という多項式を考えると、f(x)*g(x)をNTTで求めることで、iとnの間隔が一定のものを数え上げることができる。

さらにX(i)の式を変形すると、X(i)もNTTで数え上げることができる。

const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}


template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

int N;
string S;
ll X[303030];
ll fact[303030];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	fact[0]=1;
	FOR(i,301010) fact[i+1]=fact[i]*(i+1)%mo;
	
	cin>>N>>S;
	vector<ll> P(N),Q(N);
	FOR(i,N) {
		if(S[i]=='i') P[i]=1;
		else Q[N-1-i]=1;
	}
	
	P=MultPoly(P,Q,1);
	vector<ll> R(N),T(N);
	FOR(i,N) if(i) {
		if(N-1-i<P.size()) R[i-1]=P[N-1-i]*fact[i-1]%mo;
		T[i]=modpow(fact[N-1-i]);
	}
	R=MultPoly(R,T,1);
	ll ret=0;
	FOR(i,N) {
		if(N-1+i<R.size()) {
			ll x=R[N-1+i]*modpow(fact[i])%mo;
			ret^=x;
		}
	}
	cout<<ret<<endl;
}

まとめ

数学とか式変形得意な人が強そうな問題。