AtCoder ABC #224 : H - Security Camera 2

これABCで出るのか。
https://atcoder.jp/contests/abc224/tasks/abc224_h

問題

左側にX個・右側にY個の頂点からなる完全二部グラフを考える。

• 左側のi番目の点にカメラを1つ設置するのにかかるコストはA[i]
• 右側のj番目の点にカメラを1つ設置するのにかかるコストはB[j]
• 左側のi番目と右側のj番目の点で、合計C[i][j]個以上カメラが設置されていなければならない。

条件を満たす最小コストはいくらか。

解法

双対性を持ちいて式を変形する。
左側のi番目の点に設置したカメラ数をL[i]、右側のj番目の点に設置したカメラ数をR[j]とする。

最後の式について係数K[i][j]を掛けた式の総和を考える。また、L[i]≧0、R[j]≧0も考慮すると
+ \sum_j Q_iR[i] \ge K_{i,j}C_{i,j}] を満たす。
このとき、の最大値を求めれば、それは求めるコストの最小値と一致する。

+ \sum_j Q_iR[i] \ge K_{i,j}C_{i,j}]
の最大値については、以下の最小コストフローを作れば求められる。

• sourceからX個の点に容量A[i]・コスト0の辺を張る
• Y個の点からsinkに容量B[i]・コスト0の辺を張る
• 左側のi番目の点から右側のj番目の点に、容量無限大、コストinf-C[i][j]の辺を張る

このグラフに最大フローを長そう。
そのコストを、フロー容量×infから引けばよい。

int L,R;
int A[100],B[100];
int C[101][101];

template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to; V capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; V pot[NV];
	void add_edge(int x,int y, V cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	V mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); fill(pot, pot+NV, 0);
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to]) {
						dist[e.to]=d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to];
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1;
			V lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			FOR(i,NV) pot[i]+=dist[i];
			flow -= lc;
			res += lc*pot[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return res;
	}
};
MinCostFlow<1010,ll> mcf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>L>>R;
	FOR(i,L) {
		cin>>A[i];
		mcf.add_edge(200,i,A[i],0);
	}
	FOR(i,R) {
		cin>>B[i];
		mcf.add_edge(100+i,201,B[i],0);
	}
	FOR(y,L) FOR(x,R) {
		cin>>C[y][x];
		mcf.add_edge(y,100+x,10,100-C[y][x]);
	}
	ll ret=0;
	while(1) {
		auto a=mcf.mincost(200,201,1);
		if(a==-1) break;
		ret+=100-a;
	}
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

双対を使う問題、過去にも何度かやってるはずだけどどうもさっと立式できない。