yukicoder : No.1856 Mex Sum 2

これは何とか自力で解けた。
https://yukicoder.me/problems/no/1856

問題

整数N,Mが与えられる。
0～Mの整数値を取るN要素の整数列Aを考える。
f(A)は、Aの空でない部分列((2^N)-1)通りにおけるmex値の総和とする。
Aは(M+1)^N通り考えられる。全パターンにおけるf(A)の総和を求めよ。

解法

mex値に関係する要素を数え上げることを考える。

g(a,b) := a要素の整数列で、0～(b-1)をそれぞれ最低1個ずつ含むものの組み合わせ
これはNTTを1回行うごとにbをインクリメントしていきながらg(*,b)をまとめて計算できる。

N要素中a要素がg(a,b)の条件を満たすような組み合わせの時、求める答えにどの程度寄与するかを考えよう。
これは以下の積となる。

• この時のmex値はb
• N要素中(b-1)以下の要素がa個なので、その選び方はC(N,a)通り。
• 残り(N-a)要素は、以下のいずれか
  • 部分列を選ぶときの対象外である場合、どの値をとっても良いので(M+1)通り
  • 部分列を選ぶときの対象である場合、b+1以上の値を取らないといけないので(M-b)通り

よってb*C(N,a)*(2M+1-b)*g(a,b)の総和を取ればよい。

const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}


int N,M;
vector<ll> V;
const int NUM_=2021;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;

	cin>>N>>M;
	V={1};
	V.resize(4096);
	vector<ll> W;
	
	FOR(i,N+1) W.push_back(factr[i]);
	W[0]=0;
	
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=min(N,M+1);i++) {
		V=MultPoly(V,W,1);
		V.resize(N+1);
		
		ll pat=0;
		for(int len=1;len<=N;len++) {
			(pat+=V[len]%mo*fact[len]%mo*comb(N,len)%mo*modpow(M+1+max(0,M-i),N-len))%=mo;
		}
		(ret+=i*pat)%=mo;
	}
	
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

時間かなりギリギリだったんだけど、NTTをN回行うのは想定解じゃなかったりするんかな。