yukicoder : No.1857 Gacha Addiction

解きながら、「NTT2連発？」と思ってしまった。
https://yukicoder.me/problems/no/1857

問題

N種類の品物のいずれかが出るガチャがあり、それぞれの登場確率P[i]が与えられる。
同じ種類が初めて2個手に入るまでにガチャを引く回数の期待値を求めよ。

解法

同じ種類の品物を2個持っていない状態では、もう1回ガチャを引く、と考える。
f(n) := n種の異なる商品を1個ずつ持った状態に至る確率
とすると、f(n)の総和が解となる。

g(x)=(1+P[0]*x)(1+P[1]*x)....(1+P[N-1]*x)
という多項式を考える。
k次の項の係数はk個の異なる商品を選ぶときの確率の積の総和になるので、並び方を考慮してそこにk!を掛ければ、f(k)が得られる。
g(x)は1次式をN個掛けるので、分割統治の要領でNTTで求めて行こう。

int N;
ll S;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

ll fact[202020];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	fact[0]=1;
	for(i=1;i<=200000;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mo;
	
	queue<vector<ll>> Q;
	cin>>N>>S;
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		Q.push({1LL,x*modpow(S)%mo});
	}
	while(Q.size()>1) {
		vector<ll> a=Q.front();
		Q.pop();
		vector<ll> b=Q.front();
		Q.pop();
		Q.push(MultPoly(a,b,1));
	}
	ll ret=0;
	FOR(i,N+1) ret+=fact[i]*Q.front()[i]%mo;
	cout<<ret%mo<<endl;
	
}

まとめ

本番なんかこっち先解いた人多かったみたいね。