yukicoder : No.1920 Territory

知ってる問題かと思ったら、より難易度が高かった。
https://yukicoder.me/problems/no/1920

問題

2次元座標上、Y軸またはX軸に平行な線分が多数与えられる。
これらの線分により、2次元空間は線分が有限であるいくつの領域に分かれるかを求めよ。

解法

全線分が連結であれば、既出である。
Codeforces #665 Div2 E. Divide Square - kmjp's blog

考え方は同じ。
オイラーの多面体公式を使うため、これらの線分による、点と線の数を求めよう。
これは上記問題の通りに解けばよい。
線分の両端をちょっとだけ伸ばしておくと、線分の交点は常に線分の両端と一致しなくなり、実装が楽になる。

こちらの問題は上記より難しいのは、オイラーの多面体公式を使う上で線分が何個の連結成分を構成するかを求める点である。
連結成分も、平面走査を行って処理して行こう。
X座標順に平面走査する際、そのX座標に存在するX軸に平行な線分のY座標のsetと、すでに連結済みである部分をY座標の区間として表現し、その区間のsetの2つのsetを持とう。
Y軸に平行な線分を操作するたび、その線分があるY座標に対応する、上記X軸に平行な線分同士をunion-findで連結させていく。
その際、上記後者のsetを使いすでに連結済みの線分同士は、再度連結する作業を省略することで高速化する。

以下のコードを組む時、１つの区間内にY軸に平行な線分が完全に内包されるケースでミスを埋め込んでて、解消にかなり手間取った。

int N,M;
int L[1210101],R[1210101],D[1210101],U[1210101];
vector<int> LRdel[1210101],LRadd[1210101],UDdel[1210101],UDadd[1210101];


template<int um> class UF {
	public:
	vector<int> par,rank,cnt;
	UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;}
	void reinit(int num=um) {int i; FOR(i,num) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;}
	int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));}
	int count(int x) { return cnt[operator[](x)];}
	int operator()(int x,int y) {
		if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x;
		cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y];
		if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y;
		rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x;
	}
};
UF<1<<21> uf;


template<class V, int ME> class BIT {
public:
	V bit[1<<ME];
	V operator()(int e) {if(e<0) return 0;V s=0;e++;while(e) s+=bit[e-1],e-=e&-e; return s;}
	void add(int e,V v) { e++; while(e<=1<<ME) bit[e-1]+=v,e+=e&-e;}
};
BIT<int,21> bt;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	MINUS(L);
	MINUS(R);
	MINUS(U);
	MINUS(D);
	
	ll NE=0,NV=2*(N+M);
	FOR(i,N) {
		cin>>y>>l>>r;
		y*=3;
		l=l*3-1;
		r=r*3+1;
		LRadd[l].push_back(y);
		LRdel[r].push_back(y);
		L[y]=l;
		R[y]=r;
	}
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>l>>r;
		x*=3;
		l=l*3-1;
		r=r*3+1;
		UDadd[l].push_back(x);
		UDdel[r].push_back(x);
		D[x]=l;
		U[x]=r;
	}
	
	for(x=0;x<=1000000;x++) {
		FORR(y,LRadd[x]) bt.add(y,1);
		if(D[x]!=-1) {
			NE+=1+bt(U[x]-1)-bt(D[x]);
			NV+=bt(U[x]-1)-bt(D[x]);
		}
		FORR(y,LRdel[x]) bt.add(y,-1);
	}
	
	for(y=0;y<=1000000;y++) {
		FORR(x,UDadd[y]) bt.add(x,1);
		if(L[y]!=-1) NE+=1+bt(R[y]-1)-bt(L[y]);
		FORR(x,UDdel[y]) bt.add(x,-1);
	}
	
	set<pair<int,int>> S;
	set<int> T;
	S.insert({-1,-1});
	S.insert({1<<20,1<<20});
	T.insert(-1);
	T.insert(1<<20);
	FOR(x,1000000) {
		if(D[x]!=-1) {
			int mi=1<<20,ma=-1;
			while(1) {
				auto it=S.lower_bound({U[x]+1,0});
				it--;
				if(it->second<D[x]) break;
				if(it->first<D[x]&&U[x]<it->second) {
					auto it2=T.lower_bound(D[x]);
					if(*it2>U[x]) break;
				}
				uf((1<<20)+x,it->first);
				mi=min(mi,it->first);
				ma=max(ma,it->second);
				S.erase(it);
			}
			if(mi<=ma) S.insert({mi,ma});
			
		}
		FORR(e,LRadd[x]) {
			T.insert(e);
			auto it=S.lower_bound({e,0});
			it--;
			if(it->second>e) {
				int a=it->first;
				int b=it->second;
				assert(a<e&&e<b);
				S.erase(it);
				auto it2=T.find(e);
				S.insert({a,*prev(it2)});
				S.insert({e,e});
				S.insert({*next(it2),b});
			}
			else {
				S.insert({e,e});
			}
		}
		FORR(e,LRdel[x]) {
			auto it=S.lower_bound({e+1,0});
			it--;
			int a=it->first;
			int b=it->second;
			assert(a<=e&&e<=b);
			S.erase(it);
			auto it2=T.find(e);
			if(a==e) {
				if(b!=e) {
					S.insert({*next(it2),b});
				}
			}
			else {
				if(b==e) {
					S.insert({a,*prev(it2)});
				}
				else {
					S.insert({a,b});
				}
			}
			
			T.erase(e);
		}
	}
	int con=0;
	FOR(i,1<<20) {
		if(uf[i]==i&&L[i]!=-1) con++;
		if(uf[i+(1<<20)]==i+(1<<20)&&D[i]!=-1) con++;
	}
	//cout<<NE<<" "<<NV<<" "<<con<<endl;
	cout<<NE-NV+con<<endl;
	
	
}

まとめ

面倒だけど典型っぽい問題な気はするし、今後又出てくる可能性は低いかな…。
とはいえ、連結成分を数えるテクを理解できたのは良かった。