Codeforces ECR #122 : F. Perfect Matching

本番で解ける気しないなぁ。
https://codeforces.com/contest/1633/problem/F

問題

木を成す無向グラフが与えられる。
初期状態で根頂点のみ有効である。

以下のクエリに順次答えよ。

• 無効だった頂点が1つ有効化される。有効化された頂点に対し、完全マッチングが存在するか判定し、存在するなら辺番号の総和を答えよ。
• 上記クエリに対し、具体的に辺を列挙せよ。

解法

まず完全マッチングの判定方法を考える。
SubTreeのサイズが奇数の場合、根頂点は親側の頂点とマッチングする。
偶数の場合、子頂点のいずれかとマッチングする。
Subtreeのサイズが偶数のもとと奇数のものが同数ならよい。

HLDを使い、区間加算・乗算が可能で、区間和が求められるSegTreeを2つ管理する。
1つは、Subtreeのサイズの偶奇を1,-1にマッピングしたSegTreeである。
頂点を1つ有効化するとき、その点から根頂点まではSubTreeのサイズの偶奇が反転するが、これはSegTreeの対応する区間に-1を掛けることで表現できる。
もう一つは、親方向の辺番号に対し、マッチングで使われるなら正、使われないなら負とした値を入れたSegTreeである。
こちらも同様に区間に-1を掛けることで、マッチングで使われる辺番号の総和を高速に求められる。

template<class V,int NV> class SegTree_MulAdd {
public:
	vector<V> sum,mul,add; // sum stores val after muladd
	SegTree_MulAdd(){sum.resize(NV*2,0); mul.resize(NV*2,1); add.resize(NV*2,0);};

	V getval(int x,int y,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(r<=x || y<=l) return 0;
		if(x<=l && r<=y) return sum[k];
		x=max(x,l);
		y=min(y,r);
		V ret=getval(x,y,l,(l+r)/2,k*2)+getval(x,y,(l+r)/2,r,k*2+1);
		return ret*mul[k]+add[k]*(y-x);
	}
	void propagate(int k,int s) {
		mul[k*2]*=mul[k];
		add[k*2]*=mul[k];
		sum[k*2]*=mul[k];
		add[k*2]+=add[k];
		sum[k*2]+=add[k]*s/2;
		mul[k*2+1]*=mul[k];
		add[k*2+1]*=mul[k];
		sum[k*2+1]*=mul[k];
		add[k*2+1]+=add[k];
		sum[k*2+1]+=add[k]*s/2;
		
		mul[k]=1;
		add[k]=0;
	}

	void domul(int x,int y,V v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			mul[k]*=v;
			add[k]*=v;
			sum[k]*=v;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			propagate(k,r-l);
			domul(x,y,v,l,(l+r)/2,k*2);
			domul(x,y,v,(l+r)/2,r,k*2+1);
			sum[k]=sum[k*2]+sum[k*2+1];
		}
	}
	void doadd(int x,int y,V v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			add[k]+=v;
			sum[k]+=(r-l)*v;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			propagate(k,r-l);
			doadd(x,y,v/mul[k],l,(l+r)/2,k*2);
			doadd(x,y,v/mul[k],(l+r)/2,r,k*2+1);
			sum[k]=sum[k*2]+sum[k*2+1];
		}
	}
};
SegTree_MulAdd<ll,1<<20> num,sum;

struct HLdecomp {
	static const int MD=20;
	int N,NE,id;
	vector<vector<int>> E;
	vector<int> D,S,B,C; // depth, size, base,heavy child
	
	vector<int> L,R,rev; // EulerTour
	vector<vector<int>> P,Cs; // parent for LCA,children
	void init(int N) { this->N=N, NE=0, E.clear(),E.resize(N); Cs.clear(),Cs.resize(N);
		D=S=B=C=L=R=rev=vector<int>(N,0); id=0; int i; P.clear(); FOR(i,MD+1) P.push_back(vector<int>(N,0));}
	void add_edge(int a,int b){ E[a].push_back(b),E[b].push_back(a); NE++;} // undir
	void dfs(int cur,int pre) { // get depth, parent, size, largest subtree
		int i;
		P[0][cur]=pre;S[cur]=1;C[cur]=-1;B[cur]=cur;
		D[cur]=(pre==cur)?0:(D[pre]+1);
		FOR(i,E[cur].size()) if(E[cur][i]!=pre) {
			int r=E[cur][i]; dfs(r,cur); S[cur]+=S[r];
			if(C[cur]==-1 || S[r]>S[C[cur]]) C[cur]=r;
		}
	}
	void dfs2(int cur,int pre) { // set base and list
		if(pre!=cur && C[pre]==cur) B[cur]=B[pre];
		else B[cur]=cur;
		Cs[B[cur]].push_back(cur);
		L[cur]=id++;
		rev[L[cur]]=cur;
		// DFS順を先行
		if(C[cur]!=-1) dfs2(C[cur],cur);
		FORR(r,E[cur]) if(r!=pre && r!=C[cur]) dfs2(r,cur);
		R[cur]=id;
	}
	pair<int,int> lca(int a,int b) {
		int ret=0,i,aa=a,bb=b;
		if(D[aa]>D[bb]) swap(aa,bb);
		for(i=19;i>=0;i--) if(D[bb]-D[aa]>=1<<i) bb=P[i][bb];
		for(i=19;i>=0;i--) if(P[i][aa]!=P[i][bb]) aa=P[i][aa], bb=P[i][bb];
		return make_pair((aa==bb)?aa:P[0][aa], D[a]+D[b]-2*D[(aa==bb)?aa:P[0][aa]]);
	}
	void decomp(int root=0){
		assert(NE==N-1);
		dfs(root,root); dfs2(root,root);
		int i,x; FOR(i,MD) FOR(x,N) P[i+1][x]=P[i][P[i][x]];
	}
};
HLdecomp hl;


void doset(int f,int t) {
	while(hl.B[f]!=hl.B[t]) {
		num.domul(hl.L[hl.B[f]],hl.L[f]+1,-1);
		sum.domul(hl.L[hl.B[f]],hl.L[f]+1,-1);
		f=hl.P[0][hl.B[f]];
	}
	num.domul(hl.L[t],hl.L[f]+1,-1);
	sum.domul(hl.L[t],hl.L[f]+1,-1);
}


int N;
int U[202020],V[202020];
int P[202020],alive[202020];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	hl.init(N);
	FOR(i,N-1) {
		cin>>U[i]>>V[i];
		U[i]--;
		V[i]--;
		hl.add_edge(U[i],V[i]);
	}
	hl.decomp();
	num.doadd(0,N,1);
	ll S=0;
	FOR(i,N-1) {
		if(hl.D[U[i]]>hl.D[V[i]]) swap(U[i],V[i]);
		P[V[i]]=i+1;
		S+=i+1;
		sum.doadd(hl.L[V[i]],hl.L[V[i]]+1,i+1);
	}
	alive[0]=1;
	num.domul(0,1,-1);
	int lef=N-1;
	
	while(1) {
		cin>>i;
		if(i==3) break;
		
		if(i==1) {
			cin>>x;
			x--;
			lef--;
			doset(x,0);
			
			
			ll a=num.sum[1]-lef;
			ll b=sum.sum[1];
			
			if(a==0) {
				cout<<(S-b)/2<<endl;
			}
			else {
				cout<<0<<endl;
			}
		}
		else {
			ll a=num.sum[1]-lef;
			if(a==0) {
				vector<int> ret;
				FOR(i,N) if(num.getval(hl.L[i],hl.L[i]+1)==-1) ret.push_back(P[i]);
				sort(ALL(ret));
				cout<<ret.size();
				FORR(a,ret) cout<<" "<<a;
				cout<<endl;
				
			}
			else {
				cout<<0<<endl;
			}
		}
		
	}
	
	
}

まとめ

コード量は多いけど、考え方自体は割とシンプルかも。