Codeforces #783 : Div1 E. Centroid Probabilities

E問題にしては実装軽め？
https://codeforces.com/contest/1667/problem/E

問題

奇数Nが与えられる。
N頂点の木を成す無向グラフを、以下のように作ることを考える。

• 2～N番の各頂点vに対し、v未満の頂点と辺をつなげる。

このようなグラフは(N-1)!通り考えられるが、各点が重心となるケースは何通りか。

解法

重心は、Subtreeのサイズが(N+1)/2以上となる最大のindexとなる。
まず、以下を求めよう。

• dp(i) := Subtreeのサイズが(N+1)/2以上となるケース

これは(N-i)頂点のうち(N-1)/2個以上がiのSubtreeに入るケースであり、FFTで数え上げられる。

頂点i,j(i＜j)のSubtreeのサイズがいずれも(N+1)/2以上の場合、解答はjでなければならない。
求めるケースをans(i)とすると、

• 

となる。(点jが重心の時、点iのSubtreeに入る確率は1/iのため)
よってans(i)をiの大きい順に計算して行こう。

ll mo=998244353;
const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

int N;
ll ret[202020];
void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N;
	vector<ll> A(N+1),B(N+1),C(N+1);
	for(y=N/2+1;y<=N-1;y++) A[y]=fact[N-y-1]*modpow(y)%mo;
	for(y=N/2+2;y<=N;y++) C[N-y]=fact[y-2];
	for(y=0;y<=N;y++) B[y]=factr[y];
	
	A=MultPoly(A,B,1);
	C=MultPoly(C,B,1);
	
	for(x=1;x<=N;x++) {
		ll tot=fact[N-1];
		tot-=A[N-x]*fact[N-x]%mo;
		if(x<=N/2+1) tot-=C[N-x]*fact[N-x]%mo*(x-1)%mo;
		else tot=0;
		cout<<(tot%mo+mo)%mo<<" ";
	}
	
	cout<<endl;
	
}

まとめ

こういう組み合わせ系の考察、さっといかないなぁ…。