yukicoder : No.2605 Pickup Parentheses

どうにか解けて良かった。
https://yukicoder.me/problems/no/2605

問題

正整数Nと、M個の重ならない区間が与えられる。
N文字の括弧列のうち、M個の各区間に対応する部分文字列を抜き出すと、それぞれは正しい括弧列でないようなものは何通りか。

解法

包除原理を考える。
f(x)をx文字の正しい括弧列の数とする。

例えばn個の区間が正しい括弧列であるようなものは、区間長に対応する列をAとすると、
(-f(A[0]))*(-f(A[1]))*....*(-f(A[n]))*f(N-sum(A))
だけ解に寄与する。
これをFFTで解こう。
M個の区間の区間長をBとすると、多項式
(1-f(B[0])*x^(B[0]))*(1-f(B[1])*x^(B[1]))*....*(1-f(B[M-1])*x^(B[M-1]))*(1+f(1)*x^1+f(2)*x^2))*...
のx^Nの係数が解となる。

int N,M;
int L[202020],R[202020];
const ll mo=998244353;

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>M;
	if(N%2) {
		cout<<0<<endl;
		return;
	}
	
	queue<vec<ll>> Q;
	FOR(i,M) {
		cin>>L[i]>>R[i];
		x=R[i]-L[i]+1;
		if(x%2==0) {
			x/=2;
			vec<ll> A(x+1);
			A[0]=1;
			A[x]=mo-fact[2*x]*modpow(fact[x+1]*fact[x])%mo;
			Q.push(A);
		}
	}
	vec<ll> A(N/2+1);
	FOR(i,N/2+1) A[i]=fact[2*i]*modpow(fact[i+1]*fact[i])%mo;
	Q.push(A);
	while(Q.size()>1) {
		auto a=Q.front();
		Q.pop();
		Q.push(MultPoly(a,Q.front(),1));
		Q.pop();
	}
	vec<ll> V=Q.front();
	cout<<V[N/2]<<endl;
}

まとめ

立式にてこずったけどどうにか解けた。