yukicoder : No.2670 Sum of Products of Interval Lengths

これも考察に手間取るな…。
https://yukicoder.me/problems/no/2670

問題

正整数N,Mが与えられる。
1～Mの値を取るN要素の整数列全通りに対し、以下の値の総和を求めよ。

数列を、いくつかの連続な部分列に分け、それぞれ公差1の等差数列となるようにする。
その際、部分列数が最小になるようにする。
この時の各部部分列の長さの積。

解法

値は置いておいて、まず分割のパターンを考えると、長さiの部分列に対しiがかかるようにするので、
f(x)+f^2(x)+f^3(x)+.... = x+2x^2+3x^3
となる母関数f(x)=x/(1-x+x^2)におけるN次の係数が求める値。

実際は、1～Mの値を取れることを考えると、長さiの部分列は、max(0,(M-i+1))通りあるので、x^iの係数にこの値を掛けると良い。
あとは多項式の除算ができればよいのでFFTで求めることができる。

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=(t1+t2+mo)%mo;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=64) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

template<class T> vec<T> inverse(vec<T> a,int tsize=-1) { 
	assert(a[0]>0);
	if(tsize==-1) tsize=a.size();
	vec<T> b={(T)modpow(a[0])};
	while(b.size()<tsize) {
		vec<T> c(a.begin(),a.begin()+min(tsize,2*(int)b.size()));
		vec<T> d=MultPoly(b,b,true);
		if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size());
		c = MultPoly(c,d,true);
		b.resize(2*b.size());
		int i;
		for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo;
	}
	b.resize(tsize);
	return b;
}

ll N,M;


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	vector<ll> F(N+3);
	F[0]=1;
	F[1]=1;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		(F[i+1]+=F[i])%=mo;
		(F[i+2]+=mo-F[i])%=mo;
		F[i]=F[i]*(max(0LL,M-i+1)%mo)%mo;
		if(i>N) F[i]=0;
		F[i]=mo-F[i];
	}
	F=inverse(F);
	F.resize(N+1);
	cout<<F[N]<<endl;
	
}

まとめ

母関数でどうにかなりそうなところまでは行けても、そこから式を詰めていくのが苦手。