Codeforces ECR #151 : F. Swimmers in the Pool

こういうのFFTに持ってくのさっと思いつけないな。
https://codeforces.com/contest/1845/problem/F

問題

長さLのプールを、N人が往復している。
時刻0で全員が橋から泳ぎ始めたとする。
各人の速度V[i]が与えられたとき、2人以上が同一位置にいるような瞬間は、今後T秒間で何回あるか。

解法

(i,j)の2人が同じ位置にいる時刻は、同じ向きなら2L/(V[i]+V[j])ごと、逆向きで会うのは2L/(|V[i]-V[j]|)ごとである。

FFTを用いて、あり得るV[i]+V[j]及び|V[i]-V[j]|のパターンを列挙しよう。
その後、速度が異なっても同じ時刻でかち合うケースがあるので、それらを約数包除の要領で数え上げよう。

int L,T;
int N,V[202020];

const int mo=998244353;
const int mo2=1000000007;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template <class T> using vec=vector<T>; //using vec=valarray<T>;

template<class T> vec<T> fft(vec<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vec<T> MultPoly(vec<T> P,vec<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		
		if(s<=16) { //fastpath
			vec<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<=pi;x++) for(int y=0;y<=qi;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
		vec<T> P2(s*2),Q2(s*2);
		FOR(i,pi+1) P2[i]=P[i];
		FOR(i,qi+1) Q2[i]=Q[i];
		swap(P,P2),swap(Q,Q2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

int is[404040];
int X[202020];
ll dp[404040];
void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>L>>T>>N;
	vector<ll> A(1<<20),B(1<<20);
	FOR(i,N) {
		cin>>X[i];
		A[X[i]]=1;
		B[200000-X[i]]=1;
	}
	auto C=MultPoly(A,A);
	auto D=MultPoly(A,B);
	FOR(i,N) C[X[i]*2]--;
	FOR(i,C.size()) if(i&&C[i]) is[i]=1;
	FOR(i,D.size()-200000) if(i&&D[i+200000]) is[i]=1;
	
	for(i=1;i<=400000;i++) for(j=i*2;j<=400000;j+=i) is[i]|=is[j];
	
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=400000;i++) if(is[i]) {
		(dp[i]+=1LL*T*i/(2*L))%=mo2;
		for(j=2*i;j<=400000;j+=i) {
			(dp[j]+=mo2-dp[i])%=mo2;
		}
		ret+=dp[i];
	}
	cout<<ret%mo2<<endl;
}

まとめ

かち合うタイミングが2L/(V[i]+V[j])と2L/(|V[i]-V[j]|)ごとっていうの、言われてみるとそうだけど思いつかないな。